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絶対に得するギャンブル!期待値が無限大!?

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もしこんなギャンブルがあれば絶対に参加しましょう!

公平であるように見せかけて、実は絶対に儲かるお得なギャンブルです。

こんな人にオススメ
  • 絶対儲かるギャンブルがどのようなものなのか知りたい!
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ルール

絶対儲かるギャンブルのルールはこちらです。

ルール

胴元は1枚のコインを投げ続けます。

お客さんはその前に表か裏のどちらかに賭けます。

仮に表に賭けたとして、1回目に表が出たら、2円もらってゲーム終了です。

裏がでた場合、もう一度コインが投げられます。そこで表がでれば、お客さんは4円もらってゲーム終了です。

裏ならさらにもう一度コインが投げられます。ここで表がでれば8円もらってゲーム終了。

このようにお客さんが賭けた面(表か裏)がでるまで、コインを投げ続けます。

賭けた面が初めて出るまでの試行回数が\(n\)回なら\(2^n\)円もらえる、というギャンブルです。

参加費はいくらが妥当?

あなたがお客さんだったとして、参加費がいくらだったら参加してみようと思いますか?

最低でも2円は手に入るので、参加費が2円であれば必ず得しますね。
50%の確率で4円手に入るので、参加費が3円くらいでも得しそうな気がしますね。

実はこのギャンブル、参加費がいくらでも得するという計算結果になります。

期待値を計算してみましょう。
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このギャンブルの期待値

試行回数を\(n\)、期待値を\(K\)とすると
\(n\)回目でもらえる金額は\(2^n\)円
\(n\)回コイントスをする確率は\(\displaystyle \frac{1}{2^n}\)
であるため
\(\displaystyle K=({2^1}×\frac{1}{2^1})+({2^2}×\frac{1}{2^2})+({2^3}×\frac{1}{2^3})+\)
\(\displaystyle ・・・+({2^n}×\frac{1}{2^n})\)
\( \displaystyle K=\sum_{n=1}^{m}{({2^n}×\frac{1}{2^n})} \)
このギャンブルには上限がないため\(m=∞\)となります。これを代入すると
\( K=1+1+1+1+1+1+・・・=∞ \)
期待値が∞となるため、参加費がいくらであっても、計算上得するギャンブルということになります。
しかしこのギャンブルで10万円手に入る確率は10万分の1です。
試行回数も無限大であることに注意が必要です。
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