そんなはずはないのに、説明できない。
あたまがモヤモヤする数学の未解決問題です。
こんな人にオススメ
- 頭をひねる問題が好き
- モンティホール問題が好き
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封筒を交換するとお金が増える？
親切なA君とB君は重たそうな荷物をもったお婆さんを見かけたので、お婆さんの荷物を持ってあげました。
お婆さんはとても感謝したので、A君とB君にお小遣いをあげることにしました。
しかしお婆さんは変わり者であったため、こんなことを言いました。
「君たちにあげるお小遣いは小切手でこの2通の封筒に入っているよ。ただし、入っている金額が違う。片方の封筒には、もう一方の封筒の10倍の金額が入っているよ。」
そこでA君はこう考えました。
「仮に僕の封筒に1,000円の小切手が入っているとすると、B君の封筒には100円か10,000円が入っているはず。確率はそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)だから、交換したときの期待値は
\(\displaystyle \frac{100+10000}{2}=5050\)円
つまりこのままであれば1,000円、交換すれば期待値5,050円。これは交換したほうが得だな」
そして全く同じことを考えたB君も交換を申し出てきました。
果たして交換することで2人とも得するなんてことがあるのでしょうか？
何かおかしいですね。
実はこの問題、未だに様々な意見がでており、完全に解決していません。
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考え方
この問題には2つの考え方があります。
確率の考え方を変える
「100円または10,000円が入っている確率がそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)」であるということを考え直してみます。
1000円から100円と10000円の距離が異なるため、期待値を計算する際は距離にあわせて確率に重みをつける必要があります。
100円が入っている確率：\(\displaystyle \frac{10000-1000}{10000-100}= \frac{10}{11}\)
10,000円が入っている確率：\(\displaystyle \frac{1000-100}{10000-1000}= \frac{1}{11}\)
10,000円が入っている確率：\(\displaystyle \frac{1000-100}{10000-1000}= \frac{1}{11}\)
期待値：\(\displaystyle 100× \frac{10}{11}＋10000× \frac{1}{11}＝1000\)
このように計算すると期待値は交換前と同じ1,000円になります。
期待値の考え方を変える
交換することによる期待値を考えるのではなく、お婆さんからもらえるお小遣いの期待値を考えてみます。
例えば、片方の封筒に1000円入っている場合、もらえるお小遣いの期待値\(K\)は
\(\displaystyle K＝(1000＋10000)× \frac{1}{2}＋(1000＋100)× \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle K= \frac{12100}{2}\)
\(\displaystyle K＝6,050\)円
\(\displaystyle K= \frac{12100}{2}\)
\(\displaystyle K＝6,050\)円
交換してもしなくても、お婆さんからもらえるお小遣いの期待値は6,050円ということです。
学生の方は学校の先生に聞いてみてください！
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