4=5の証明!あなたは間違いを見つけられるか?

4=5を証明してみたいと思います。

もちろんこの証明には間違いがあります。

あなたは間違いを見つけることができますか?

こんな人にオススメ
  • 不思議な証明を見てみたい。
  • 間違いを暴いてみたい。
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証明①

1つ目は四則演算での証明です。

\(20-20=25-25\)

\((5×4)-(5×4)=(5×5)-(5×5)\)

\(4×(5-5)=5×(5-5)\)

\(4=5\)

\(2+2=5\)

どこに間違いがあるかわかりますか?
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間違いの解説

3行目から4行目への変形に間違いがあります。

\(20-20=25-25\)…①

\((5×4)-(5×4)=(5×5)-(5×5)\)…②

\(4×(5-5)=5×(5-5)\)…③

\(4=5\)…④

\(2+2=5\)…⑤

\((5-5)=0\)で割るのは数学ではNGです。
0で割るのがダメな理由はこのあたりにあるんですね。

証明②

こちらは中学レベルの数学です。

\(-20=-20\)

\(16-36=25-45\)

\(4^2-4×9=5^2-5×9\)

\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)\)

※両辺に\(\displaystyle \left(\frac{9}{2}\right)^2\)を加えます。

\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\\ \displaystyle=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\)

※\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)なので

\(\displaystyle \left(4-\frac{9}{2}\right)^2=\left(5-\frac{9}{2}\right)^2\)

\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}\)

※両辺に\(\displaystyle \frac{9}{2}\)を加えると。

\(\displaystyle 4=5\)

証明完了です。
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間違いの解説

こちらは6行目から7行目への変形に間違いがあります。

\(-20=-20\)…①

\(16-36=25-45\)…②

\(4^2-4×9=5^2-5×9\)…③

\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)\)…④

\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\\ \displaystyle=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\)…⑤

\(\displaystyle \left(4-\frac{9}{2}\right)^2=\left(5-\frac{9}{2}\right)^2\)…⑥

\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}\)…⑦

\(\displaystyle 4=5\)…⑧

6行目から7行目への変形で平方根をとっていますが、

\(a^2=b^2\)の平方根をとる場合

\(a=b\)または\(a=-b\)の2パターンが考えられます。

この式では勝手に\(a=b\)としてしまったことに間違いがあります。

実際、\(a=-b\)とすれば以下のようにこの式は成り立ちます。

\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=-\left(5-\frac{9}{2}\right)\)

\(\displaystyle \left(\frac{8}{2}-\frac{9}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}-\frac{9}{2}\right)\)

\(\displaystyle -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)

数学のルールを守るのは大事ですね。

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