4=5を証明してみたいと思います。
もちろんこの証明には間違いがあります。
あなたは間違いを見つけることができますか？
- 不思議な証明を見てみたい。
- 間違いを暴いてみたい。
証明①
1つ目は四則演算での証明です。
\(20-20=25-25\)
\((5×4)-(5×4)=(5×5)-(5×5)\)
\(4×(5-5)=5×(5-5)\)
\(4=5\)
\(2+2=5\)
間違いの解説
3行目から4行目への変形に間違いがあります。
\(20-20=25-25\)…①
\((5×4)-(5×4)=(5×5)-(5×5)\)…②
\(4×(5-5)=5×(5-5)\)…③
\(4=5\)…④
\(2+2=5\)…⑤
証明②
こちらは中学レベルの数学です。
\(-20=-20\)
\(16-36=25-45\)
\(4^2-4×9=5^2-5×9\)
\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)\)
※両辺に\(\displaystyle \left(\frac{9}{2}\right)^2\)を加えます。
\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\\ \displaystyle=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\)
※\(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\)なので
\(\displaystyle \left(4-\frac{9}{2}\right)^2=\left(5-\frac{9}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}\)
※両辺に\(\displaystyle \frac{9}{2}\)を加えると。
\(\displaystyle 4=5\)
間違いの解説
こちらは6行目から7行目への変形に間違いがあります。
\(-20=-20\)…①
\(16-36=25-45\)…②
\(4^2-4×9=5^2-5×9\)…③
\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)\)…④
\(\displaystyle 4^2-2\left(4×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\\ \displaystyle=5^2-2\left(5×\frac{9}{2}\right)+\left(\frac{9}{2}\right)^2\)…⑤
\(\displaystyle \left(4-\frac{9}{2}\right)^2=\left(5-\frac{9}{2}\right)^2\)…⑥
\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}\)…⑦
\(\displaystyle 4=5\)…⑧
6行目から7行目への変形で平方根をとっていますが、
\(a^2=b^2\)の平方根をとる場合
\(a=b\)または\(a=-b\)の2パターンが考えられます。
この式では勝手に\(a=b\)としてしまったことに間違いがあります。
実際、\(a=-b\)とすれば以下のようにこの式は成り立ちます。
\(\displaystyle 4-\frac{9}{2}=-\left(5-\frac{9}{2}\right)\)
\(\displaystyle \left(\frac{8}{2}-\frac{9}{2}\right)=-\left(\frac{10}{2}-\frac{9}{2}\right)\)
\(\displaystyle -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\)