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【証明】なぜ0.99999=1なのか?わかりやすく解説します!

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0.99999…=1なのか?

実はこれ、数学的に正しいです。

この問題は中学生レベルの数学で簡単に証明できるので、わかりやすく解説します。

さらに記事の後半で似たような問題も紹介しています。

こんな人にオススメ
  • 0.99999…=1であることを理解したい。
  • 似たような問題に興味がある。
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0.99999…=1の証明

2パターンの証明を紹介します。

簡単な証明

この問題は中学レベルの数学で簡単に証明できます。

\(x\)を以下のように定義する。

\(x=0.99999…\) (1)

両辺を\(10\)倍すると

\(10x=9.99999…\) (2)

(1)-(2)すると

\(10x-x=(9.99999…)-(0.99999…)\)
\(9x=9\)
\(x=1\)

つまり

\(x=0.99999…=1\)

証明完了です。
非常に簡単ですね。

高校レベルの証明

続いては、無限等比級数を使った証明です。

まずは\(0.99999…\)を数列で表現します。

\(0.99999…\)

\(\displaystyle =\lim_{n→∞} \left[0.9+0.9×\frac{1}{10}\\+0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^2+…+0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^n \right]\)

\(\displaystyle =\lim_{n→∞} \left[0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^0+0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^1\\+0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^2+…+0.9×\left(\frac{1}{10} \right)^n \right]\)

\(\displaystyle =\lim_{n→∞} \sum_{k=1}^n{0.9\left(\frac{1}{10}\right)^{k-1}} \)

\(\displaystyle =\lim_{n→∞} \left[ \frac{\frac{9}{10}\left( \left( \frac{1}{10}\right)^n-1\right)}{\frac{1}{10}-1} \right] \)※等比数列の和の公式

\(\displaystyle =\frac{-\frac{9}{10}}{\frac{1}{10}-1}\)

\(\displaystyle =\frac{-\frac{9}{10}}{-\frac{9}{10}}=1\)

証明完了です。

さっきよりも難しかったですね。

先に説明した簡単な証明よりもこちらのほうがより信頼のある証明です。

もちろん簡単な証明も間違いではありません。

しかし\((9.99999…)-(0.99999…)=9\)という計算は、左辺の桁が同じという条件が必要です。ここが曖昧なまま計算するのは少し強引とも言えます。

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1/3の不思議

\(\displaystyle \frac{1}{3}\)について考えてみても不思議な現象が起きます。

\(\displaystyle \frac{1}{3}×3=1\) (1)
上記の①式に違和感を感じることはありませんよね。
次に\(\displaystyle \frac{1}{3}\)を別の表現にしてみます。
\(\displaystyle \frac{1}{3}=0.33333…\)
すると
\(\displaystyle \frac{1}{3}×3=(0.33333…)×3=0.99999…\) (2)
(1)と(2)の値が不一致になっていまいました。
やっぱり
\(0.99999…=1\)
が正しいことがわかりますね。
色々辻褄があってくるのです。

0.00000…1=0?

\(0.99999…=1\)が正しいことはわかりました。

では

\(0.00000…1=0\)
も正しいのでしょうか?
実はこれ、間違いです。
\(0=1-0.99999…=0.00000…1\)
上記のような考え方は正しくないということです。
\(0.99999…\)と\(0.00000…1\)の数の性質が異なることが理由です。
違い
  • \(0.99999…\)は無限に\(9\)という数字が続く循環小数です。
  • \(0.00000…1\)は\(0\)が続いた後、最後に\(1\)という数字がでてきます。つまり、最後が存在するので、\(0\)は無限に続きません
\(0.99999…\)は\(9\)が無限に続くので\(0.99999…=1\)が成り立ちます。
しかし\(0.00000…1\)は\(0\)の連続が有限であるため\(0.00000…1=0\)は成り立たないのです。
無限と有限の考え方はややこしいですね。

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