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最高の恋人と結婚できる確率を最大にできる!秘書問題を解説!

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できれば結婚相手は最高の相手がいいですよね。

しかし今の恋人が最高の相手である保証はない。もしかしたらこの先もっといい人と出会えるかもしれない。

そんな悩みを持っている人は、この記事を読んでください。

数学の力で、最高の恋人と結婚できる確率を最大にする方法を解説します。

こんな人にオススメ
  • 最高の結婚相手と結婚したい。
  • 数学を人生に役立てたい。
  • 秘書問題の解き方を詳しく知りたい。
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約37%の確率で最高の相手と結婚できる

あなたはこれから100人の恋人と出会います。

ただし、付き合えるのは1人ずつです。

また、一度別れた相手とは2度と寄りを戻すことはできません。

あなたはこの条件でどうやって最高の恋人を見つけますか?

あてずっぽうに相手を選び、それが最高の相手である確率は1%です。

\(\displaystyle \frac{1}{100}=0.01\)
これは相当きついですね。
しかし数学を使えばこの確率を約37%まで引き上げることができるのです。
だいたい3人に1人は最高の相手と結婚できるということです。

最初の37人を切り捨てる

その方法は簡単です。

確率を約37%にする方法
  1. 100人のうち、最初の37人は切り捨てる。
  2. 38人目以降で、最初の37人の中の最も良かった相手よりも良い相手と出会ったらその人と結婚する。

たったこれだけで約37%の確率で最高の相手と結婚できるのです。

とても簡単ですね。
現実で100人の恋人と出会う人はあまりいなそうなので、応用するのであれば
  • 今20歳で29歳までに結婚すると決める。
  • 23歳まで付き合った人とは絶対に結婚しない。
  • 24歳以降で出会う、23歳までに付き合った人より良い人と結婚する。

といった感じでしょうか。

この方法は恋人をコロコロ変える人じゃないと使えないことに注意しておいてください!

リスクもある

もちろんこの方法にもリスクがあります。

約37%の人が最高の相手と付き合えるのは間違いありません。

では残りの約63%の人はどうなるのでしょうか?

こうなります。

残りの内訳
  1. 約26%:2番目以下の人と結婚する。
  2. 約37%:結婚できない。

①はまだいいとして、②の結婚できないはかなりリスクですね。

②になるのは、最初の37人の中に最高の相手がいた場合です。

待てども待てども、38人目以降に最初の37人の中の最も良かった相手よりも良い相手と出会うことがないため、結婚できなくなります。

こじらせちゃうパターンですね。
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証明

この理論が正しいことを証明していきたいと思います。

証明内容

これから\(n\)人の恋人と出会うものとします。

ただし、あなたは\(x\)人目までは問答無用で別れます。

そして\(x+1\)人目以降で、\(x\)人目のまでの中で最も良かった人よりも良い人と出会ったら結婚します。

このときの

  • 最高の相手と結婚できる確率\(P(x)\)の最大値が約37%
  • そのときの\(\displaystyle \frac{x}{n}\)の値が0.37

であることを証明します。

\(m\)番目に最高の相手がいるとした場合の最高の相手を選べる確率を考えます。

問答無用に別れる範囲に最高の恋人がいた場合、絶対の最高の恋人と結婚できないので

\(m≤x\)のとき\(0\)
つまり考慮するのは\(m>x\)の範囲のみとなります。
\(m\)番目に最高の相手がいる確率は
\(\displaystyle \frac{1}{n}\)
最高の相手よりも前(\(m-1\))に、\(x\)番内にいる人よりも魅力的な人がいると、最高の相手にたどり着けません。
その確率は
\(\displaystyle \frac{x}{m-1}\)
つまり、最高の相手と結婚できる確率を\(P(x)\)とすると
\(\displaystyle P(x)=\frac{1}{n}\sum_{m=x+1}^{n}\frac{x}{m-1}\)
展開すると
\(\displaystyle P(x)=\frac{x}{n} \left( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+…+\frac{1}{n-1} \right)\)
ここで、\(n\)が十分大きいとき、マクローリン展開式を使い
\(\displaystyle P(x)=\frac{x}{n}\log\frac{n}{x}\)
が得られる。
\(\displaystyle y=\frac{x}{n}\log\frac{n}{x}\)の\(n=10\)の場合のグラフは以下となる。
0から\(n(10)\)の範囲内で\(P(x)\)が最大になるのは\(P'(x)=0\)(傾きが0)のところであることがわかる。
\(\displaystyle P'(x)=\frac{x}{n}\log\frac{n}{x}-\frac{1}{n}\)
\(P'(x)=0\)となるのは
\(\displaystyle x=\frac{n}{e}\)
であることがわかる。つまり
\(\displaystyle \frac{x}{n}=\frac{1}{e}=\frac{1}{2.718…}≒0.37\)
\(P(x)\)に\(\displaystyle x=\frac{n}{e}\)を代入すると
\(\displaystyle P(\frac{n}{e})=\frac{1}{e}\log{e}=\frac{1}{e}≒0.37\)
つまり\(P(x)\)の最大値は約37%である。
証明完了です。

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