数学者の間で有名な4桁の数字をまとめてみました。
車のナンバープレートがこれから紹介する数字であった場合は、数学好きが運転している可能性が高いですよ！
- イケてる4桁の数字を探している
6174
まずは「6174」です。
これはカプレカ数と呼ばれる数字です。
カプレカ数とは？
カプレカ数の定義は以下です。
- その数字の桁を大きいもの順と、小さいもの順に並び替える
- 大きいもの順に並び替えたものから、小さいもの順に並び替えたものを引く
- その答えが元の数字になればカプレカ数
- 大きいもの順：7641
- 小さいもの順：1467
次に大きいもの順で並べたものから、小さいもの順に並べたものを引きます。
答えが元の数字になったため、「6174」はカプレカ数となります。
カプレカ数の更なる魅力
カプレカ数以外の数字も「カプレカ数の定義」の操作を繰り返すことで、カプレカ数に収束します。(ただし、1111の倍数は除く)
9720 - 0279 = 9411
9411 - 1149 = 8262
8622 - 2268 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
他のカプレカ数
4桁のカプレカ数は「6174」のみなので、他の桁の数字を紹介したいと思います。
| 1桁 | 0 |
| 2桁 | 495 |
| 3桁 | - |
| 4桁 | 6174 |
| 5桁 | - |
| 6桁 | 549945 631764 |
| 7桁 | - |
| 8桁 | 63317664 |
9桁以降もカプレラ数はあります。
1729
次は「1729」です。
これはタクシー数と呼ばれる数字です。
タクシー数とは？
タクシー数の定義はこちらです。
タクシー数の名前の由来
なぜこの数字がタクシー数と呼ばれるようになったのでしょう？
天才数学者のシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの元に来た師匠ハーディがこう言いました。
「今日乗ってきたタクシーのナンバーは1729だったんだ。何も特徴のない数字だったよ。」
それに対してラマヌジャンはこう返しました。
「そんなことはないよ。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数字だよ。」
このエピソードからタクシー数と呼ばれるようになりました。
他のタクシー数
現在タクシー数は6つ発見されています。
\(Ta(1)=2\)
\(Ta(2)=1729\)
\(Ta(3)=87539319\)
\(Ta(4)=6963472309248\)
\(Ta(5)=48988659276962496\)
\(Ta(6)=24153319581254312065344\)
7つ目以降も候補は見つかっています。
しかしそれが最小であるということがなかなか証明できません。
8128
「8128」は完全数という数字です。
完全数とは？
完全数の定義はこちらです。
完全数の名前の由来
完全数の定義を理解しても、なぜこれが「完全」なのかわからないですよね。
完全数は最初に、古代ギリシャ語で「teleios arithmos」と名付けられました。
teleios：欠点がない
arithmos：数字
という意味があります。
つまり「欠点がない数字」＝「一致する数字」といった意味で名付けられたと考えられています。
それが英語では「Parfect number」、日本語では「完全数」と訳されました。
他の完全数
2021年現在、完全数は51個しか見つかっていません。
かなり桁が大きくなるので、途中まで紹介します。
| No.1 | 6 |
| No.2 | 28 |
| No.3 | 496 |
| No.4 | 8128 |
| No.5 | 33550336 |
| No.6 | 8589869056 |
| No.7 | 137438691328 |
| No.8 | 2305843008139952128 |
1634
「1634」はナルシスト数という数字です。
ナルシスト数とは？
ナルシスト数の定義はこちらです。
ナルシスト数の名前の由来
ナルシストとは「自分をこよなく愛し、陶酔している人」のことです。
ナルシストはギリシャ神話に登場し、水面に映った自分の姿に恋をして水死した「ナルキッソス」が由来と言われています。
ナルシスト数は自分で自分を表現できるため、このような名前をつけられたと言われていますが、はっきりしたことはわかっていません。
それであればカプレカ数がナルシスト数と呼ばれていてもよかった気がしますね。
他のナルシスト数
4桁のナルシスト数は1634,8208,9474の3つのみです。
ナルシスト数は有限で、全部で88個しかありません。
有限であることは簡単に説明ができます。
999999…という60桁の自然数の各桁の60乗の和を計算してみます。
\(6^{60}×60=1.078206…×10^{59}\)
60桁の自然数で最大である999999…を操作すると59桁の数字になった。
これを数式で表現してみます。
①\(n\)桁の自然数で最小のものは\(10^n-1\)
②\(n\)個の\(n\)乗の和が最大になるのは\(9^n×n\)
ナルシスト数が存在するのは①よりも②が大きい場合のみなので
\(10^n-1≤9^n×n\)・・・③
である必要がある。
③の式を変形すると
\(\displaystyle \left( \frac{10}{9} \right)^{n-1}≤9n\)
となり、\(n\)が大きくなると指数関数である左辺が右辺よりも大きくなるため③の式が成立しないことがわかる。
つまりナルシスト数は有限である。
ちなみに最大のナルシスト数は115132219018763992565095597973971522401で39桁です。