パスワードにすると危険!数学界で有名な4桁の数字まとめ!

数学者の間で有名な4桁の数字をまとめてみました。

車のナンバープレートがこれから紹介する数字であった場合は、数学好きが運転している可能性が高いですよ!

この記事はこんな人にオススメ
  • イケてる4桁の数字を探している
スポンサーリンク

6174

まずは「6174」です。

これはカプレカ数と呼ばれる数字です。

カプレカ数とは?

カプレカ数の定義は以下です。

カプレカ数の定義
  1. その数字の桁を大きいもの順と、小さいもの順に並び替える
  2. 大きいもの順に並び替えたものから、小さいもの順に並び替えたものを引く
  3. その答えが元の数字になればカプレカ数
実際に計算してみましょう。
「6174」の桁を大きいもの順と、小さいもの順に並び替えます。
  • 大きいもの順:7641
  • 小さいもの順:1467

次に大きいもの順で並べたものから、小さいもの順に並べたものを引きます。

7641 - 1467 = 6174

答えが元の数字になったため、「6174」はカプレカ数となります。

ちなみに、4桁のカプレカ数は「6174」のみです。

カプレカ数の更なる魅力

カプレカ数以外の数字も「カプレカ数の定義」の操作を繰り返すことで、カプレカ数に収束します。(ただし、1111の倍数は除く)

これもやってみましょう!
「2021」からスタートしてみましょう。
2201 - 0122 = 2079
9720 - 0279 = 9411
9411 - 1149 = 8262
8622 - 2268 = 6354
6543 - 3456 = 3087
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174
見事「6174」に収束しました。
もし4桁のカプレカ数を忘れてしまっても、方法さえ知っていればいつでも導きだすことができます。
しかし有名な数字なので暗証番号にするのは危険ですよ!

他のカプレカ数

4桁のカプレカ数は「6174」のみなので、他の桁の数字を紹介したいと思います。

1桁 0
2桁 495
3桁 -
4桁 6174
5桁 -
6桁 549945
631764
7桁 -
8桁 63317664

9桁以降もカプレラ数はあります。

意外とカプレラ数は少ないんです。
スポンサーリンク

1729

次は「1729」です。

これはタクシー数と呼ばれる数字です。

タクシー数とは?

タクシー数の定義はこちらです。

タクシー数の定義
2つの立方数の和として\(n\)通りで表すことができる最小の正の整数。
2つの立方の和として1通りで表すことができる最小の正の整数は簡単です。
\(1^3+1^3=2\)
ですので、2となります。
1つ目のタクシー数ということで
\(Ta(1)=2\)
と表します。
では次のタクシー数\(Ta(2)\)はいくつなのでしょうか。答えはこちらです。
\(Ta(2)=1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)
つまり「1729」は2つの立方の和として2通りで表すことができる最小の正の整数ということです。
もちろん4桁のタクシー数は「1729」のみです。

タクシー数の名前の由来

なぜこの数字がタクシー数と呼ばれるようになったのでしょう?

天才数学者のシュリニヴァーサ・ラマヌジャンの元に来た師匠ハーディがこう言いました。

「今日乗ってきたタクシーのナンバーは1729だったんだ。何も特徴のない数字だったよ。」

それに対してラマヌジャンはこう返しました。

「そんなことはないよ。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数字だよ。」

このエピソードからタクシー数と呼ばれるようになりました。

暗算で気づくなんて、ラマヌジャンは本当に天才ですね!

他のタクシー数

現在タクシー数は6つ発見されています。

\(Ta(1)=2\)
\(Ta(2)=1729\)
\(Ta(3)=87539319\)
\(Ta(4)=6963472309248\)
\(Ta(5)=48988659276962496\)
\(Ta(6)=24153319581254312065344\)

7つ目以降も候補は見つかっています。

しかしそれが最小であるということがなかなか証明できません。

スポンサーリンク

8128

「8128」は完全数という数字です。

完全数とは?

完全数の定義はこちらです。

完全数の定義
自分自身が自分自身を除く正の約数の和に等しくなる自然数のこと。
具体例を見てみましょう。
最小の完全数は「6」です。
6の約数は1,2,3,6です。
この約数から自分自身(6)を除いて足し合わせます。
1+2+3=6
答えが「6」になったため、「6」は完全数です。
同じように考えると、8128の約数は1,2,4,8,16,32,64,127,254,508,1016,2032,4064,8128であるため、自分自身を除いて足し合わせると
1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128
「8128」が完全数であることがわかります。
4桁の完全数は「8128」のみです。

完全数の名前の由来

完全数の定義を理解しても、なぜこれが「完全」なのかわからないですよね。

完全数は最初に、古代ギリシャ語で「teleios arithmos」と名付けられました。

teleios:欠点がない
arithmos:数字

という意味があります。

つまり「欠点がない数字」=「一致する数字」といった意味で名付けられたと考えられています。

それが英語では「Parfect number」、日本語では「完全数」と訳されました。

他の完全数

2021年現在、完全数は51個しか見つかっていません。

かなり桁が大きくなるので、途中まで紹介します。

No.1 6
No.2 28
No.3 496
No.4 8128
No.5 33550336
No.6 8589869056
No.7 137438691328
No.8 2305843008139952128
スポンサーリンク

1634

「1634」はナルシスト数という数字です。

ナルシスト数とは?

ナルシスト数の定義はこちらです。

ナルシスト数の定義
\(n\)桁の自然数であり、各桁の\(n\)乗の和が元の値に等しくなる数。
具体例を見るとよくわかりますよ。
「1634」で考えてみましょう。
「1634」は4桁の自然数ですので、各桁の4乗の和を算出してみます。
\(1^4+6^4+3^4+4^4=1+1296+81+256=1634\)
元の値に戻りました。
これがナルシスト数です!

ナルシスト数の名前の由来

ナルシストとは「自分をこよなく愛し、陶酔している人」のことです。

ナルシストはギリシャ神話に登場し、水面に映った自分の姿に恋をして水死した「ナルキッソス」が由来と言われています。

ナルシスト数は自分で自分を表現できるため、このような名前をつけられたと言われていますが、はっきりしたことはわかっていません。

それであればカプレカ数がナルシスト数と呼ばれていてもよかった気がしますね。

他のナルシスト数

4桁のナルシスト数は1634,8208,9474の3つのみです。

ナルシスト数は有限で、全部で88個しかありません。

有限であることは簡単に説明ができます。

999999…という60桁の自然数の各桁の60乗の和を計算してみます。

\(6^{60}×60=1.078206…×10^{59}\)

60桁の自然数で最大である999999…を操作すると59桁の数字になった。

これを数式で表現してみます。

①\(n\)桁の自然数で最小のものは\(10^n-1\)
②\(n\)個の\(n\)乗の和が最大になるのは\(9^n×n\)

ナルシスト数が存在するのは①よりも②が大きい場合のみなので

\(10^n-1≤9^n×n\)・・・③

である必要がある。

③の式を変形すると

\(\displaystyle \left( \frac{10}{9} \right)^{n-1}≤9n\)

となり、\(n\)が大きくなると指数関数である左辺が右辺よりも大きくなるため③の式が成立しないことがわかる。

つまりナルシスト数は有限である。

ちなみに最大のナルシスト数は115132219018763992565095597973971522401で39桁です。

 

もっと数学を楽しみたい方へ!
こちらの記事がオススメです!

\夢中になれる本だけを紹介/
記事を読む

スポンサーリンク
>なぜ数学を学ぶのか?

なぜ数学を学ぶのか?

数学はとても面白いし役に立ちます。
それを少しでも多く伝えれば思っています。
このサイトでは筆者が「本当に面白い」と感じた内容だけを記載しています。