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一部から全体を推測する方法!ドイツの戦車問題とベイズ推定!

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数学を使えば一部を把握できれば全体を推測することができます。

それがベイズ推定です。

今回は戦車問題を例にベイズ推定についてわかりやすく解説します。

こんな人にオススメ
  • 一部から全体を推測する方法を知りたい。
  • 数学が何の役に立つのか知りたい。
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ドイツの戦車問題とは?

まずはドイツの戦車問題について説明します。

ドイツの戦車問題
第二次世界大戦中、あなたは諜報機関でスパイとして働いています。
そこで、敵であるドイツ軍の戦車を何台か捕獲することができました。
その製造番号を確認すると、「19」「40」「42」「60」という番号でした。
どうやら製造番号は連番(完成した順番に1から番号が振られる)のようです。
さて、ドイツ軍は一体何台の戦車を保有しているでしょうか?
この問題の解答を高い精度で算出できるのがベイズ推定です。
実際に当時のスパイが使用し、高い精度で敵の戦車の数を把握したらしいです。
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ベイズ推定

では、ここからベイズ推定について解説していきます。

ベイズ推定の公式

戦車問題の答えを算出するための公式はこちらになります。

ベイズ推定の公式
捕獲した戦車の数を\(k\)とし、捕獲した戦車の中で最も大きい製造番号を\(m\)とする。そのとき、予測される全ての戦車の数\(N\)は以下のように推測できる。
\(\displaystyle N≒μ±σ\)
\(\displaystyle μ=(m-1)\frac{k-1}{k-2}\)
\(\displaystyle σ=\sqrt{\frac{(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^2}}\)
ここで\(μ\)は平均値、\(σ\)は標準偏差を表す。
平均値や標準偏差がよくわからないという方はこちらの記事を参照ください。
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実際に計算してみると

では、先ほどの公式で実際に計算してみたいと思います。

捕獲した戦車は4台で、それらの製造番号は「19」「40」「42」「60」でしたので以下のように計算ができます。

\(k=4\)(捕獲した戦車の数)
\(m=60\)(最も大きい製造番号)

であるので

\(\displaystyle μ=(m-1)\frac{k-1}{k-1}\)

\(\displaystyle μ=(60-1)\frac{4-1}{4-2}\)

\(\displaystyle μ=88.5\)\(\displaystyle σ=\sqrt{\frac{(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^2}}\)

 

\(\displaystyle σ=\sqrt{\frac{(4-1)(60-1)(60-4+1)}{(4-3)(4-2)^2}}\)

\(\displaystyle σ≒50.22\)

 

\(\displaystyle N≒μ±σ=88.5±50.22\)

つまり68%の確率で、敵の戦車の数は38~139台の範囲内であるということです。
なんだかイマイチの精度ですね。
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サンプルの数を増やしてみると

確保した戦車の数が4台だけだと、算出結果の精度はイマイチでした。

しかし、ここからどんどん戦車を確保していく(サンプルの数を増やしていく)と制度が上がっていきます。

敵の戦車の数を80台とし、サンプルの数を増やしていったとき結果を以下にまとめました。

確保した戦車の数最も大きい製造番号計算結果最大誤差
46038~13959(73.8%)
236564~7016(20.0%)
427070~7210(12.5%)
617575~765(6.3%)
8080800(0.0%)

確保した戦車の数が4台のときの答えとの最大誤差は59台(73.8%)でした。

しかし確保した戦車の数が23台になると、最大誤差が16台(20.0%)と大幅に制度が上がっています。

さらに全体の約半数である42台を確保すると、最大誤差は10台(12.5%)まで減ります。

なかなか高精度で推測できていると言えるのではないでしょうか。
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