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体積は有限なのに面積は無限!?ガブリエルのラッパ!

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体積は有限なのに断面積は無限という不思議な形状があります。

その名も「ガブリエルのラッパ」!

今回はこのガブリエルのラッパについてわかりやすく解説します。

こんな人にオススメ
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  • 数学の不思議な話が好き!
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ガブリエルのラッパ

早速ですがガブリエルのラッパとはどんな形なのでしょうか?

こんな形です。

出展:wikipedia

本当にラッパのような形ですね。
ガブリエルのラッパの形状はこのように定義されています。
\(\displaystyle y=\frac{1}{x}(x≧1)\)をx軸で回転させてできる図形。
\(\displaystyle y=\frac{1}{x}(x≧1)\)はこのような形状です。
これをX軸で回転させるとガブリエルのラッパになります。

ガブリエルのラッパの体積

まずは体積を求めてみましょう。

体積\(V\)は以下の計算で求めることができます。

\(x=a\)の面積は\(\displaystyle π×\frac{1}{a}×\frac{1}{a}\)なので

\begin{align*}
V &=π\int_1^ \infty \frac{1}{x^2}dx\\
&=\lim_{n \to \infty}π\int_1^ n \frac{1}{x^2}dx\\
&= \lim_{n \to \infty}π(-\frac{1}{n}+1)\\
&=π
\end{align*}

体積\(V\)は\(π\)となりました。

つまり体積は有限ということです。

ガブリエルのラッパの断面積

次に断面積を求めてみましょう。

断面積\(D\)は以下の計算で求めることができます。

\begin{align*}
V &=\int_1^ \infty \frac{1}{x}dx\\
&=\lim_{n \to \infty}\int_1^ n \frac{1}{x}dx\\
&= \lim_{n \to \infty}\log n\\
&=\infty
\end{align*}
断面積\(D\)は\(∞\)になりました。
つまり断面積は無限ということです。
これでガブリエルのラッパの体積は有限であり、断面積が無限であることが証明できました。
無限なのか有限なのかわからない不思議な形ですね。

なぜガブリエルのラッパなのか?

出展:XFLAG

なぜこの形状がガブリエルのラッパと呼ばれるのでしょう?

有限が無限(神)と結びつくこの現象を、最後の審判を告げる笛を吹くという伝承の大天使ガブリエルへなぞらえたものである。

引用:wikipedia

やっぱり無限であり有限であることが所以なんですね。
もっとこのようなバラドックスが知りたい!という方はこちらの記事を参照してください。
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