意外で面白い確率!「誕生日のパラドックス」をわかりやすく解説!

あるクラスに23人の生徒がいる。このクラスに同じ誕生日の人がいる確率は50%である。

このように実際の感覚とかけ離れた、驚くべき結果を示すのが「誕生日のパラドックス」です。

この記事では「誕生日のパラドックス」の算出方法をわかりやすく解説し、似たような驚く確率も紹介します。

こんな人にオススメ
  • 誕生日のパラドックスをもっと詳しく知りたい
  • 誕生日のパラドックスのような驚く確率を知りたい
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誕生日のパラドックスとは?

23人が在籍しているクラスに、同じ誕生日の人がいる確率は50%です。

1年は365日(うるう年を除く)なので、感覚としては\(\displaystyle \frac{23}{365}≒6.3\)%くらいではないでしょうか?

誕生日のパラドックスとは、このように感覚と実際の値が大きくかけ離れるというパラドックスです。

計算方法

誕生日のパラドックスの計算方法を解説します。

まず、2人の誕生日が異なる確率は次のように表すことができます。

\(\displaystyle \frac{365}{365}×\frac{365-1}{365}\)
次に、\(n\)人の誕生日が異なる確率\(R\)は次のようになります。

\(\displaystyle R= \frac{365}{365}×\frac{365-1}{365}・・・\frac{365-(n-1)}{365}\)

\(\displaystyle R= \frac{365!}{365^n(365-n)!}\)

誕生日が異なる確率\(R\)がわかったので、誕生日が同じ確率\(Q\)は次のように表すことができます。

\(\displaystyle Q=1-R\)

\(\displaystyle Q=1-\frac{365!}{365^n(365-n)!}\)

ちなみにエクセルでは\(170!\)以上の計算ができません。階乗を計算するfact関数の上限が170までであるためです。

実際に計算してみたいという方は次の式で計算してみてください。

\(\displaystyle Q=1-\frac{{}_{365} P_{n}}{365^{n}}\)

順列(P)を計算するPERMUT関数であれば計算可能です。

クラスの人数が増えた場合

実際の学校のクラスだと40人くらい、大学なら100人くらいのクラスもあると思います。

そうすると同じ誕生日の人がいる確率はどうなるのでしょう?

計算結果を以下に示します。

クラスの人数 誕生日が同じ人がいる確率
23人 50.7%
30人 70.6%
40人 89.1%
50人 97.0%
60人 99.4%
70人 99.92%
80人 99.991%
90人 99.9994%
100人 99.99997%

なんと100人のクラスには99.99997%の確率で同じ誕生日の人がいるという結果になりました。

同じ誕生日の人がいないクラスを見つけることはほぼ不可能ということですね。

自分と同じ誕生日の人がいる確率

では、クラスに自分と同じ誕生日の人がいる確率はどれくらいでしょう?

これは次の計算式で算出が可能です。

\(n\):人数

とすると求める確率\(Q'\)は

\(\displaystyle Q'=1-\left( \frac{364}{365} \right) ^n\)

計算結果を以下に示します。

クラスの人数 誕生日が同じ人がいる確率
23人 6%
30人 8%
40人 10%
50人 13%
60人 15%
70人 17%
80人 20%
90人 22%
100人 24%

さっきと比べるとぐっと確率が下がりましたね。

これは感覚と一致しているのではないでしょうか?
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他の驚く確率

誕生日のパラドックスのように驚く確率を集めました。

飼い犬の種類

猫の種類は約100種類と言われています。

12人の猫の飼い主が集まれば、50%の確率で同じ猫を飼っています。

髪の毛の数が同じ人

髪の毛の数がピッタリ一致する人がいる確率はどれくらいでしょうか?

人間の髪の毛は約14万本くらいと言われています。

計算の結果、441人の集団の中には50%の確率で一致する人がいます。

確かめようはありませんけどね。

DNAが一致する確率

警察が行っているDNA鑑定は約4兆7,000億人に1人の確率で一致すると言われています。

間違いなど発生するはずない!と思える確率ですが、それでも256万人を対象に検査すると50%の確率で一致する人がでます。

東京都杉並区の人口が約256万人です。
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