球を輪切りにした場合、どの部分が最も大きくなるのか？
意見が分かれそうな問題です。
こんな人にオススメ
- パラドックスのような問題が好き
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問題
直径2の球を下図のように切り分けます。
このとき、「A」「B」「C」で最も表面積が大きいのはどこか？(切断面の面積は含めません。)
表面積を求めるためには高校数学の知識が必要になります。
わからない方は直感で答えてみてください。
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解答
答えは「A」「B」「C」の表面積は同じです。
表面積が同じであることを証明してみましょう。
まずは、下の図(球を横から見た図)のグレーの部分の表面積を求めてみましょう。
この部分の表面積は積分で求めることができます。
\begin{align*}
\int_0^α 2π\cosθdθ &= 2π \left[ \sinθ \right]_0^α\\
&=2πh
\end{align*}
\int_0^α 2π\cosθdθ &= 2π \left[ \sinθ \right]_0^α\\
&=2πh
\end{align*}
表面積は\(2πh\)で表せることがわかりました。
「A」「B」「C」は全て\(\displaystyle h=\frac{1}{3}\)なので、表面積が同じであることがわかります。
球の表面積は切断面の高さに比例するんです。