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【面白い数学の問題】帽子の色を当てるための作戦!

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知っているとどこかで役にたつかもしれない!?

確率に関する問題です。

こんな人にオススメ
  • パラドックスのような問題を解きたい
  • 頭をひねる問題を解きたい
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問題

3人の死刑囚A,B,Cがいました。
死刑執行の日に看守が「これからあるゲームを行う。それに勝ったら3人とも釈放してやろう。」と言いました。

ゲームの内容はこのようなものです。

赤と白の帽子を3つずつ用意します。
そして、赤か白の帽子どちらからを本人には色がわからないようにかぶせます。
ただし、他の2人の帽子の色は見ることができます。

その状況で、自分の帽子の色を当てるというゲームです。

  • 誰か1人でも正解すれば、3人とも釈放される。
  • 誰か1人でも間違えたら死刑が執行される。
  • パスをすることができるが、3人全員がパスをした場合は死刑が執行される。
  • お互いが合図を送ることはできない。

つまり、誰1人間違えることなく、1人以上が正解すれば釈放されるということです。

ゲームを始める前に作戦会議の時間があります。

この状況で、釈放される確率を最大にする作戦はどのようなものでしょうか?

生死がかかっているので、真剣に考えたいところですね。

考察

「3人それぞれが適当に答える!」という作戦の場合、釈放される確率はどの程度でしょうか?

それぞれが正解する確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので

\(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\)
釈放される確率は\(\displaystyle \frac{1}{8}\)(12.5%)になってしまいます。
愚策ですね。
では、「1人が答えて、他の2人はパスをする!」という作戦だとどうなるでしょう?
1人が正解する確率が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので、釈放される確率も\(\displaystyle \frac{1}{2}\)(50%)になります。
さっきよりはマシですね。
もっと釈放される確率を上げることができる作成があるのです。
皆さんはわかりましたか?

解答

釈放される確率を最大限にできる作戦はこちらです。

作戦
  • 自分以外の2人が同じ色の帽子である場合、それと異なる帽子の色を答える。
  • 自分以外の2人が違う色の帽子である場合、パスをする。

この作戦を実行すると釈放される確率が\(\displaystyle \frac{3}{4}\)(75%)になります。

勝率が跳ね上がりました。
なぜこの作戦が有効なのかは以下の票を見てもらうとよくわかります。
帽子の色A
B
C
答えA----
B----
C----
正誤A×----×
B×----×
C×----×
釈放××
この作戦通りに行動すれば、3人全員が白または赤の帽子をかぶせられたとき以外は釈放されるんです。
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