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【面白い数学の問題】嘘つきはクラスに何人いるのか?

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パラドックス好きにピッタリな数学の問題です。

こんな人にオススメ
  • パラドックスのような問題を解きたい
  • 頭をひねる問題を解きたい
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問題

女子と男子が20人ずつ、計40人いるクラスがある。
このクラスの女の子がこんなことを言います。
1番目の女の子男子のうち少なくとも1人は嘘つきです。
2番目の女の子男子のうち少なくとも2人は嘘つきです。
3番目の女の子男子のうち少なくとも3人は嘘つきです。
4番目の女の子男子のうち少なくとも4人は嘘つきです。
(中略)
17番目の女の子男子のうち少なくとも17人は嘘つきです。
18番目の女の子男子のうち少なくとも18人は嘘つきです。
19番目の女の子男子のうち少なくとも19人は嘘つきです。
20番目の女の子男子は全員嘘つきです。

嘘つきはいつも嘘つき、正直者はいつも正直とすると、このクラスに嘘つきは男女合わせて何人いるでしょう?

解答

3人の男子が嘘つきだったと仮定しましょう。

そうすると「男子のうち少なくとも4人が嘘つきです。」と言った4番目以降の女子は全員嘘つきになる。

つまり、男子3人、女子17人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。

 

次に10人の男子が嘘つきだったと仮定しましょう。

そうすると「男子のうち少なくとも11人が嘘つきです。」と言った11番目以降の女子は全員嘘つきになる。

つまり、男子10人、女子10人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。

3人のときと同じ答えになりましたね。
ではN人の男子が嘘つきだったと仮定してみましょう。
そうすると「男子のうち少なくともN+1人が嘘つきです。」と言ったN+1番目以降の女子は全員嘘つきになる。
N+1番目以降の女子は20-N人います。
つまり、男子N人、女子20-N人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。
証明完了ですね。
男子、女子の嘘つきの数が確定しなくても、クラス全体の嘘つきの数はわかるという不思議な問題でした。
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