【面白い数学の問題】嘘つきはクラスに何人いるのか?

パラドックス好きにピッタリな数学の問題です。

こんな人にオススメ
  • パラドックスのような問題を解きたい
  • 頭をひねる問題を解きたい
スポンサーリンク

問題

女子と男子が20人ずつ、計40人いるクラスがある。
このクラスの女の子がこんなことを言います。
1番目の女の子 男子のうち少なくとも1人は嘘つきです。
2番目の女の子 男子のうち少なくとも2人は嘘つきです。
3番目の女の子 男子のうち少なくとも3人は嘘つきです。
4番目の女の子 男子のうち少なくとも4人は嘘つきです。
(中略)
17番目の女の子 男子のうち少なくとも17人は嘘つきです。
18番目の女の子 男子のうち少なくとも18人は嘘つきです。
19番目の女の子 男子のうち少なくとも19人は嘘つきです。
20番目の女の子 男子は全員嘘つきです。

嘘つきはいつも嘘つき、正直者はいつも正直とすると、このクラスに嘘つきは男女合わせて何人いるでしょう?

解答

3人の男子が嘘つきだったと仮定しましょう。

そうすると「男子のうち少なくとも4人が嘘つきです。」と言った4番目以降の女子は全員嘘つきになる。

つまり、男子3人、女子17人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。

 

次に10人の男子が嘘つきだったと仮定しましょう。

そうすると「男子のうち少なくとも11人が嘘つきです。」と言った11番目以降の女子は全員嘘つきになる。

つまり、男子10人、女子10人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。

3人のときと同じ答えになりましたね。
ではN人の男子が嘘つきだったと仮定してみましょう。
そうすると「男子のうち少なくともN+1人が嘘つきです。」と言ったN+1番目以降の女子は全員嘘つきになる。
N+1番目以降の女子は20-N人います。
つまり、男子N人、女子20-N人の合計20人の嘘つきがクラスにいることになります。
証明完了ですね。
男子、女子の嘘つきの数が確定しなくても、クラス全体の嘘つきの数はわかるという不思議な問題でした。
関連記事

閃けばスッキリ解ける数学の問題を集めました。 暇つぶしにピッタリですよ! こんな人にオススメ 論理パズルが好き 頭をひねる問題が好き 問題を解いた快感を味わいたい 一筆書きで書く 問題 以下の[…]

もっと数学を楽しみたい方へ!
こちらの記事がオススメです!

\夢中になれる本だけを紹介/
記事を読む

スポンサーリンク
>なぜ数学を学ぶのか?

なぜ数学を学ぶのか?

数学はとても面白いし役に立ちます。
それを少しでも多く伝えれば思っています。
このサイトでは筆者が「本当に面白い」と感じた内容だけを記載しています。