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【面白い数学の問題】コイントスをして「表表」と「裏表」がでる確率は同じ?

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コイントスの問題です。

実際の感覚と計算結果が一致しないもやもやする問題です。

これをすっきり理解できる方は完全に数学脳ですね。

こんな人にオススメ
  • パラドックスのような問題を解きたい
  • 頭をひねる問題を解きたい
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問題

表と裏がでる確率が同じコインで何度もコイントスを行います。

①表が2回連続して出たら終わり。
②裏→表と出たら終わり。

①と②のどちらがはやく終わるでしょう?

裏と表がでる確率が同じなのであれば、どちらも同じな気がしますね。

解答

②(裏→表が出たら終わり)のほうがはやく終わる確率が高いです。

直感的に信じがたいと思います。

まずはコインを4回投げる場合のパターンを書き出してみましょう。

〇が表、×が裏を意味します。

①表が2回連続して出る裏→表がでる
1回目2回目3回目4回目1回目2回目3回目4回目
--
--×
--×
--××
××-
×××-
××××
××××××
×-×--
×-×--
×××--
××××--
××××-
×××××-
××××××

こうやってみると確かに②のほうがよくでていることがわかりますね。

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証明

期待値を計算し、②のほうがはやく終わる確率が高いことを証明してみます。

①の期待値

まずは①(表が2回連続)がでるまでの期待値を\(E_1\)とし、値を求めます。

1投目が表の場合

2投目が表なら2投で終了、裏ならさらに\(E_1\)投することになります。

つまりその後の期待値は

\(\displaystyle \frac{1}{2}2+\frac{1}{2}(2+E_1)\)
と表すことができます。

1投目が裏の場合

1投して開始時と同じ状態に戻るため

\(\displaystyle 1+E_1\)

と表すことができます。

 

1投目が表または裏である確率はそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので

\(\displaystyle E_1=\frac{1}{2}\{\frac{1}{2}2+\frac{1}{2}(2+E_1)\}+\frac{1}{2}\{1+E_1\}\)

\(\displaystyle E_1=6\)

となる。

②の期待値

次に①(裏→表)がでるまでの期待値を\(E_2\)とし、値を求めます。

準備

すでに裏が出た状態とし、ここから\(F_2\)投できるとします。

次が表なら1投で終了。

次が裏ならさらに\(F_2\)投します。

つまり期待値\(F_2\)は

\(\displaystyle F_2=\frac{1}{2}1+\frac{1}{2}(1+F_2)\)

\(\displaystyle F_2=2\)

となります。

1投目が表の場合

1投して開始時と同じ状態に戻るため

\(\displaystyle 1+E_2\)

と表すことができます。

1投目が裏の場合

1投した後の期待値は\(F_1\)であるため

\(\displaystyle 1+F_2\)
と表すことができます。

 

1投目が表または裏である確率はそれぞれ\(\displaystyle \frac{1}{2}\)なので

\(\displaystyle E_2=\frac{1}{2}\{1+E_2\}+\frac{1}{2}\{1+F_2\}\)

\(\displaystyle E_2=4\)

となる。

 

\(\displaystyle \frac{E_1}{E_2}=\frac{6}{4}=1.5\)であるため、①は②に比べ、終わるまでの期待値が1.5倍である。

かなり差がありますね。
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