【面白い数学の問題】何回サイコロを振ればゴールできる?

直感と実際の確率が一致しない不思議な問題です。

こんな人にオススメ
  • パラドックスのような問題を問いたい
  • 頭をひねる問題を解きたい
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問題

6マス目がゴールのすごろくがあります。

START 1 2 3 4 5 6(GOAL)

サイコロを振って、出た目の数だけ進みます。

ゴールを超える数がでた場合はゴール扱いとなります。

桃鉄より親切ですね。
ゴールに達するまでにサイコロを振る回数の期待値はいくらでしょう?

よくある間違い

サイコロを1回振って出る目の期待値は

\(\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5\)
である。
6以上の値を出せばいいのでゴールに達するまでにサイコロを振る回数の期待値は
\(\displaystyle \frac{6}{3.5}≒1.71\)
となる。
期待値が約1.71ということは、サイコロを2回振れば半分以上の人がゴールできることを意味します。
直感的にもそんなものな気がしますね。
しかし、これは間違いなのです。
正しい答えを出すためにはゴールをオーバーするときの値まで考慮しないといけません。

解答

正しい答えを得るためにはもう少し丁寧に計算する必要があります。

ゴールまでの残りが\(n\)マスのときの、「ゴールに達するまでにサイコロを振る回数」の期待値を\(E_n\)とします。

 

まずは\(E_1\)(ゴールまで残り1マスのとき)について考えてみましょう。

サイコロを1回振れば必ずゴールできるので、\(E_1=1\)となります。

 

次に\(E_2\)(ゴールまで残り2マスのとき)について考えてみます。

サイコロを1回振って

  • 2~6がでればゴール
  • 1がでれば、残り1マスになるので次は\(E_1\)でゴールできる。

ということがわかります。

計算すると\(E_2\)はこのようになります。

\(\displaystyle E_2=\frac{5}{6}+\frac{1}{6}(1+E_1)=1+\frac{1}{6}(E_1)=\frac{7}{6}\)

 

同様に\(E_3\)から\(E_6\)まで計算してみます。

\(\displaystyle E_3=1+\frac{1}{6}(E_1+E_2)=\frac{7^2}{6^2}\)

\(\displaystyle E_4=1+\frac{1}{6}(E_1+E_2+E_3)=\frac{7^3}{6^3}\)

\(\displaystyle E_5=1+\frac{1}{6}(E_1+E_2+E_3+E_4)=\frac{7^4}{6^4}\)

\(\displaystyle E_6=1+\frac{1}{6}(E_1+E_2+E_3+E_4+E_5)=\frac{7^5}{6^5}\)

つまり\(\displaystyle\frac{7^5}{6^5}≒2.16\)が期待値となります。
よくある間違いと異なり、サイコロを2回振ってもゴールできない人のほうが多いという結果になりました。
感覚だと、残り6マスであればサイコロを2回振ればゴールできそうな気がするんですけどね。
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