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神様は存在しないことの証明!ゲーテルの不完全性定理をわかりやすく解説!

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神様が存在しないことを証明したと言われる、ゲーテルの不完全性定理。

なんと数学者ゲーテルが数学は完全でないことを証明してしまったのです。

ゲーテルの不完全性定理とはどういったものなのか?その証明内容とは?なぜ神様の存在を否定することになるのか?

完全に理解するのは非常にハードルが高いですが、この記事では誰でも理解できるように、できるだけ数式や専門用語を使わずに解説します。

こんな人にオススメ
  • 神様が存在しないことを証明したい。
  • ゲーテルの不完全性定理について学びたい。
  • ゲーテルの不完全性定理をわかりやすく解説してほしい。
  • パラドックスが好き
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ゲーテルの不完全性定理とは?

まずはゲーテルの不完全性定理について解説します。

不完全性定理は「ゲーテルの第一不完全性定理」と「ゲーテルの第二不完全性定理」に分かれます。

ゲーテルの第一不完全性定理

ゲーテルの第一不完全性定理の内容はこちらです。

ゲーテルの第一不完全性定理
ある条件を満たす形式的体系には、以下の両方が成り立つ変数を持たない論理式\(A\)が存在する。
  • \(A\)は証明できない。
  • \(A\)の否定は証明できない。
ある条件については後で説明します。
形式的体系
というのはルールみたいなものだと思ってください。
わかりやすく表現すると、ある条件を満たすルールの中に、正しくもないし、間違ってもいないものが存在するということです。
具体例として、次のような形式的体系を考えてみましょう。
形式的体系
  • \(B\)を人間の集合とする。
  • \(B\)の中に\(B\)は含まれない。

\(B\)の中には全ての人間が含まれます。しかし含まれるのは人間のみです。

つまり\(B\)は人間ではなく、人間の集合なので\(B\)自身には含まれません。

では\(B\)の中に\(B\)が含まれないとすると、一体\(B\)の中には何が入っているのか?
人間が\(B\)の中に入っているのか、入っていないのかわからなくなりましたね。
これがある条件を満たすルールの中に、正しくもないし、間違ってもいないものが存在するということです。
ちなみにこの例は、ラッセルのパラドックスと呼ばれています。

ゲーテルの第二不完全性定理

ゲーテルの第二不完全性定理の内容はこちらです。

ゲーテルの第二不完全性定理
ある条件を満たす形式的体系には、自己の無矛盾性を証明する論理式が存在しない。
こちらのある条件はゲーテルの第一不完全性定理と同じです。
これも後で説明します。
形式的体系(ルールみたいなもの)の作り方によって、自分で自分の中に矛盾がないことを証明できない場合があるということです。
つまり、自分の中に矛盾がないことを証明するために、自分以外の形式的体系に証明してもらう必要があるということです。
内容だけならゲーテルの第一不完全性定理よりもわかりやすいですね。

ある条件とは?

ゲーテルの不完全性定理の、「ある条件」とは何なのでしょう?

もし「ある条件」が数学のルールに含まれるのであれば、数学に矛盾があることが証明されてしまいます。

「ある条件」はこちらです。

ある条件
  • 矛盾がない
  • 自然数を扱う
  • 再帰的である

「矛盾がない」と「自然数を扱う」はわかりやすいですね。

「再帰的」とは論理式自身を形式的体系のルールに従って証明できるということです。

つまり数学の中で「ある条件」を満たす形式的体系をつくると、その形式的体系の中に矛盾を持つ論理式\(A\)が存在する。それは数学に矛盾が存在することの証明になります。

これが数学者ゲーテルが発見した数学は完全でないことを証明の概要です。

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神様の存在証明

なぜゲーテルの不完全性定理が神様の存在証明に繋がるのか?

神様が全知全能で全てのものを含むとすると、「ある条件を満たす形式的体系」も含むことになります。

もちろん神様に矛盾は許されません。

そうするとゲーテルの不完全性定理によって、全知全能で全てのものを含み、かつ矛盾しない存在は存在しないことが証明されることになります。

全知全能じゃなかったり、矛盾を持つ神様はいるかもしれないということです。

ゲーテルの不完全性定理の証明

ゲーテルの第一不完全性定理は難解ですが、高校生くらいである程度数学が得意な方であれば、理解できると思います。

証明の流れは以下です。

  1. \(P\)という形式的体系の基本記号、公理、推論規則を定める。
  2. 形式的体系\(P\)の基本記号と列に数を割り当て、ゲーテル数を定める。
  3. 原始回帰的述語を定義し、表現定理を紹介する。
  4. 算術的述語から証明可能性述語までを定義する。
  5. \(A\)も\( \lnot A\)(Aの否定)も証明できない論理式、すなわち決定不能な論理式を構成する。
聞きなれない言葉だらけですね。

証明には高校数学では習わない、新しい知識が必要です。

言い換えればいつ挑戦してみても変わらないってことです。

興味ある方には以下の書籍がオススメです。

一般の方向けに書かれた本なので、専門用語の説明などが非常に丁寧です。

必要な知識を身につけながら、最後にはしっかり証明してくれます。

是非、ご自身の手で完璧に見える数学の矛盾を証明してみてください。

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