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かわいい数学の未解決問題!ナビエストークス方程式をわかりやすく解説!

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数学の未解決問題の1つであるナビエストークス方程式の初期値問題。

この問題は100万ドルの懸賞金がかけられているミレニアム問題の1つです。

しかし、ナビエストークス方程式は流体力学の分野で今も使われている有名な方程式です。

この問題の何が未解決なのでしょう?

また、この問題を解くことが、世の中にどう影響するのでしょう?

これらの疑問をわかりやすく解説します。

こんな人にオススメ
  • 数学の未解決問題に興味がある。
  • ナビエストークス方程式の何が未解決なのか知りたい。
  • ナビエストークス方程式の初期値問題が解けると、どうなるのか知りたい。
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ナビエストークス方程式とは?

まずは、ナビエストークス方程式がどういったものかの説明からはじめます。

ナビエストークス方程式とは、流体の運動量の流れの保存則を表す方程式で、以下の式になります。

ナビエストーク方程式
\(\displaystyle ρ\left[\frac{\partial V}{\partial t}+(V・∇)V\right]=-∇P+μ∇^2v+ρF\)
\(V(\mathbb{R},t)\):速度
\(F(\mathbb{R},t)\):外力
\(P(\mathbb{R},t)\):圧力
\(ρ\):密度
\(μ\):粘性係数
非常にややこしい式ですね。
この方程式のすごいところは、流れている流体の状態をこの式1つで表すことができるというところです。
流体はたくさんの分子の集合で、その分子は少しずつ違う動きをしています。
もし、ニュートンの運動方程式で流体の流れを表現しようとすると、分子と同じ数だけ運動方程式が必要となります。
1Lの水の中には約60,000,000,000,000,000個の水分子があります。
それを1つにまとめることができるのが、このナビエストークス方程式です。

ナビエストークス方程式の初期値問題

では、ナビエストークス方程式の何が未解決なのでしょう?

このナビエストークス方程式はとても画期的で便利なものです。

しかし、計算が複雑すぎるのです。

このナビエストークス方程式を簡単にするために、対象の流体の密度(\(ρ\))と粘性係数(\μ\)が一定と仮定しましょう。

高圧洗浄機ではなく、流れている川のイメージです。
このとき、ナビエストークス方程式に一般解はあるのか?というのがナビエストークス方程式の初期値問題です。
一般解というのは二次方程式(\(ax^2+bx+c=0\))でいうところの、解の公式(\(\displaystyle x=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\))です。

なぜ解けないのか?

ナビエストークス方程式は時間微分と場所微分が混在している、2階非線形線微分方程式というものです。

2種類の微分が混在していることが、一般解を求めることができない理由です。

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問題が解けると

ナビエストークス方程式は複雑な流体の状態を把握することができる、とても便利な方程式ですが、計算が非常に複雑という問題があります。

しかし一般解が求められると、非常に計算が簡単になり、ナビエストークス方程式の弱点が無くなります。

解の公式があれば、2次方程式を解くのが簡単になるイメージです。

液体だけでなく、気体も流体です。

つまり流体の状態が簡単に把握できるようになると、

  • 天気予報の精度が上がる。
  • ゴルフボールの軌道を計算しやすくなる。

など、様々な分野の研究が進みやすくなります。

未だに流体の状態を完全に把握することはできていないんです。

ナビエストークス方程式はかわいい?

ナビエストーク方程式は未解決問題だけでなく、かわいい式としても有名です。

ナビエストークス方程式がかわいいと言われているのは\((V・∇)V\)の部分です。

こんなに難しい式の中でうれしそうにダブルピースしているんです。

それを知ってから思ってナビエストークス方程式を見ると、確かにかわいく見えてきますね。
\(\displaystyle ρ\left[\frac{\partial V}{\partial t}+(V・∇)V\right]=-∇P+μ∇^2v+ρF\)
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