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数学の未解決問題!双子素数の問題についてわかりやすく解説!

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数学の未解決問題の1つである双子素数の問題。

問題自体は簡単なのですが、証明するとなると骨が折れる難問です。

こんな人にオススメ
  • 数学の未解決問題が好き。
  • 双子素数の問題について知りたい。
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双子素数の問題とは?

双子素数の問題は以下の内容です。

双子素数の予想

\(n\)番目の素数を\(P_n\)とする場合

\(P_{n+1}-P_n=2\)

となる素数が無限個ある。

\(P_{n+1}-P_n=2\)となる素数が双子素数と呼ばれるものです。

具体的に示すと、5と3、7と5などです。

\(P_{2+1}-P_2=5-3=2\)

\(P_{3+1}-P_3=7-5=2\)

双子素数ってなんか少なそうな気がしますよね。
感覚的にはあまり無さそうなのですが、以下に示すように以外と存在するのが双子素数です。
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269,271), (281, 283), (311, 313)
これらのような双子素数は無限に存在するのか?というのが双子素数の問題です。
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現在の進捗

双子素数の研究は少しづつ進んでいます。

元となる素数が無限にあることは2006年フィリップ・サイダックにより証明されています。

発見されている最大の双子素数

2020年7月時点で発見されている最大の双子素数は以下です。

\(2996863034895×2^{1290000}±1\)
コンピュータを用いて計算されました。
ちなみに388,342桁の数字になります。
もうなんだか無限にありそうな気がしてきますね。

弱い証明

双子素数を弱めたものが正しいことは証明されました。

元の双子素数の問題は以下でした。

双子素数の予想

\(n\)番目の素数を\(P_n\)とする場合

\(P_{n+1}-P_n=2\)

となる素数が無限個ある。

弱めた双子素数の問題は次のようになります。

元の双子素数の問題は以下でした。

弱い双子素数の予想

\(n\)番目の素数を\(P_n\)とする場合

\(P_{n+1}-P_n≦246\)

となる素数が無限個ある。

素数同士の差が2ではなく、246以下に弱まっています。

遠い親戚を含めると無限にいることはわかったという感じですね。
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