無理数とは?何が無理なのか?有理数との違いをわかりやすく簡単に解説!

無理数とはいったい何なのか?

何が無理なのか?

その違いをわかりやすく簡単に解説します。

また、最後には無理数が本当に「無理」であることを証明してみます。

こんな人にオススメ
  • 無理数が何なのか知りたい。
  • 無理数が本当に「無理」であることを証明してほしい。
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無理数とは?

まず、無理数とは何なのか?という話です。

無理数は以下のように定義されています。

分数で表すことができない実数のこと。
分数で表すことが「無理」な数ということですね。
反対に、分数で表すことができる数は有理数といいます。

\(\displaystyle 0= \frac{0}{1}\)

\(\displaystyle 0.33333…= \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle 0.5= \frac{1}{2}\)

\(\displaystyle 2= \frac{2}{1}\)

\(\displaystyle 100= \frac{100}{1}\)

など、普段目にする多くの数字が有理数です。

では1.2222…や1.428571.42857…無理数か有理数のどちらでしょう?

\(\displaystyle 1.2222…=1+ \frac{2}{9}\)

\(\displaystyle 1.428571.42857…= \frac{10}{7}\)
どちらも分数で表すことができるので、有理数です。
なかなか無理数と遭遇できませんね。

無理数の一覧

では、どのような数が無理数となるのでしょう?

以下に無理数の例をあげます。

円周率

円周率(π=3.14159265…)は無理数の代表です。

分数で表すことができないから、無限に続く可能性があるんですね。
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平方根(ルート)

平方根で表す数の中には無理数があります。

  • \(\displaystyle \sqrt{2}\)
  • \(\displaystyle \sqrt{3}\)

は無理数の代表です。

以下の条件を満たす場合、\(\displaystyle \sqrt[m] {N}\)が無理数となります。

条件
  • \(N\)と\(m\)は整数。
  • \(m>1\)
  • \(N\)は\(m\)乗数ではない。

対数

対数の中にも無理数は存在します。

  • \(\displaystyle  \log_2 3\)
  • \(\displaystyle  \log_2 5\)

は無理数です。

以下の条件を満たす場合、\(\displaystyle \log_m N\)が無理数となります。

条件
  • \(N\)と\(m\)は整数。
  • \(N>1\)
  • \(m>1\)
  • \(N=l^a\)は\(m=l^b\)を満たす整数\(l,a,b\)が存在しない。

ネイピア数

円周率に並んで不思議な数である、ネイピア数(e=2.718281828…)も無理数です。

ネイピア数と円周率の不思議さはこちらの記事で解説しています。

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チャンパーノウン定数

小数部分に自然数を順番に並べた数であるチャンパーノウン定数も無理数です。

自然数は1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13…という1以上の整数のことです。

これを小数部分に並べると

0.12345678910111213…

という数になります。

この数も分数で表すことができない無理数です。

コープランド エルデシュ定数

小数部分に素数を順番に並べた数であるコープランド エルデシュ定数も無理数です。

素数は2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…という1と自身以外で割ることができない数のことです。

これを小数部分に並べると

0.2357111317192329…

という数になります。

この数も分数で表すことができない無理数です。

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無理数であることの証明

無理数の1つである\(\displaystyle \sqrt{2}\)が、本当に分数で表すことが「無理」であることを証明してみます。

中学レベルの数学で証明できる簡単な内容なので安心してください。

\(\displaystyle \sqrt{2}\)が有理数であると仮定します。

\(\displaystyle \sqrt{2}\)が有理数である場合、互いに共通の約数を持たない正の整数\(m\),\(n\)を用いて

\(\displaystyle \sqrt{2}=\frac{m}{n}\) …①

と表すことができます。

①式を変形すると

\begin{align*}
\sqrt{2}&=\frac{m}{n} \\
2&=\frac{m^2}{n^2} \\
2n^2&=m^2
\end{align*}
となります。
ここで、左辺は2の倍数なので\(m^2\)も2の倍数になります。
\(m^2\)が2の倍数ということは\(m\)は約数に2を持っているはずです。つまり\(m\)も2の倍数です。
\(\displaystyle=frac{1}{2}m\)とすると、\(m\)は2の倍数なので、\(l\)は整数となります。
これを元の式に代入してみましょう。
\begin{align*}
2n^2&=m^2 \\
2n^2&=(2l)^2 \\
2n^2&=4l^2 \\
n^2&=2l^2 \\
\end{align*}
先ほどと同じように考えると、右辺が2の倍数なので\(n^2\)が2の倍数になります。
\(n^2\)が2の倍数ということは\(n\)は約数に2を持っているはずです。つまり\(n\)も2の倍数です。
ここで、最初の条件で\(m\),\(n\)は互いに共通の約数を持たないとありました。
しかし、\(m\),\(n\)はどちらも約数に2を持っていることがわかりました。
つまり、\(\displaystyle \sqrt{2}\)が有理数であると仮定は成り立たず、無理数になるということです。
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無理数と無理数の四則演算

無理数単体は分数で表すことが「無理」な数ということはわかってきました。

では、無理数と無理数で計算すると新たな無理数が生まれるのでしょうか?

それとも無理数でなくなり、有理数になってしまうのでしょうか?

その答えは「どちらもありえる。」です。

例をあげてみます。

無理数+無理数=有理数

無理数と無理数を足して有理数になるパターンです。

\(\displaystyle \sqrt{2}-\sqrt{2}=0\)
0は有理数です。

無理数+無理数=無理数

無理数と無理数を足して無理数になるパターンです。

\(\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
同じ無理数をいくら足しても無理数のままということですね。

無理数×無理数=有理数

無理数と無理数をかけて有理数になるパターンです。

\(\displaystyle \sqrt{2}×\sqrt{2}=2\)
ルートがとれてしまうとただの整数ですね。

無理数×無理数=無理数

無理数と無理数をかけてむ理数になるパターンです。

\(\displaystyle \sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}\)
\(\displaystyle \sqrt{6}\)も無理数なんです。

 

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