数学の未解決問題!通路を通れるソファの面積の最大値は?

1966年に提示されて以来、未だに未解決のソファ問題。

1m×1mの通路にある直角コーナーを曲がることができるソファの最大サイズは?という単純な問題ですが、なぜかまだ証明されていません。

この記事ではソファ問題の内容と現在の進捗をわかりやすく解説します。

問題自体は非常に簡単なので、自由研究にもオススメです。

こんな人にオススメ
  • 数学の未解決問題を解いてみたい。
  • ソファ問題について詳しく知りたい。
  • 数学の自由研究の課題を探している。
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ソファ問題とは?

ソファ問題の内容は以下です。

ソファ問題
通路の幅を1としたとき、L字型の通路を通り抜けることができるソファの面積の最大値(\(A\))を求めよ。
引っ越しでソファが家に入らなかったのが、この問題が生まれたきっかけなのでしょうか?
例えば通路の1×1の正方形であれば通路を通ることができますね。
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出展:Dan Romik's home page
この場合のソファの面積(\(A\))は以下のようになります。
\(A=1×1=1\)
もう少し考えてみましょう。
半径1の半円も通路を通ることができます。
semicircle-movie
出展:Dan Romik's home page
この場合のソファの面積(\(A\))は以下のようになります。
\(\displaystyle A=\frac{1^2×π}{2}≒1.571\)
正方形の約1.5倍のサイズになりました。
このようにしてソファのL字型の通路を通れる形を考えるのがソファ問題です。
紙を切っていろんな形を作ってみれば検証できるので、小学生の夏休みの自由研究にも向いていますよ。
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ソファ問題の進捗

現在もいろんな数学者がソファ問題の解決に挑んでいます。

そこで、今現在どの程度解決に近づいているのかをまとめました。

受話器型の登場

1968年にイギリスの数学者ジョン・ハマーズレイが受話器型と呼ばれる形状を発見しました。

ソファ問題が提示されて2年後ですね。
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出展:Dan Romik's home page
この形状の面積(\(A\))は以下のようになります。
\(\displaystyle A=\frac{π}{2}+\frac{2}{π}≒2.208\)
正方形と比べるてもかなり大きいですね。
もうソファと言えるような形はしていませんが。
しかし、これが最大ではありませんでした。
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受話器型の改良

1992年にアメリカの数学者ジョセフ・ジャーバーが受話器型の改良版を発見しました。

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出展:Dan Romik's home page

改良版の受話器型は18の線(3つの直線と15の曲線)で構成された複雑な形状で、面積\(A\)は約2.220です。

元の受話器型の面積が約2.208なので、約0.012だけ大きくなりました。

2022年現在、発見されている最大面積はこの形状です。

しかし、これ以上の面積をもった形状が無いことを証明することができていません。

そのため、このソファ問題は未解決なのです。

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上限の証明

ソファの最大面積は証明されていませんが、面積の上限は証明されています。

2017年にアメリカの数学者ダン・ロミクが面積の上限が2.37であることを証明しています。

証明内容に興味がある方はこちらから論文をダウンロードすることができます。

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ソファ問題の発展

ソファ問題の発展形として以下のような問題があります。

ソファ問題の発展形
通路の幅を1としたとき、以下の図ような通路を通り抜けることができるソファの面積の最大値(\(A\))を求めよ。
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この問題の最大値はダン・ロミクが発見した以下の\(A≒1.645\)となる形状です。

出展:Dan Romik's home page
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