解けそうで解けない!数学の有名な未解決問題まとめ!

問題の意味は中学生でも理解できるのに、世界中の数学者を悩ませいている。

そんな未解決問題をまとめました。

中には賞金をもらえるものもありますよ。

こんな人にオススメ
  • 数学の未解決問題を知りたい
  • 数学で一攫千金を狙いたい
スポンサーリンク

コラッツ予想

コラッツ予想とは、1937年にローター・コラッツが提示した問題です。

内容だけれであれば小学生でも理解できるのですが、未だに解決できていないという問題です。

2021年7月7日に懸賞金1億2000万円がかけられました。

コラッツ予想の内容

コラッツ予想とは「以下のルールに従って計算すると、どんな正の整数も1になる。」というものです。

コラッツ予想のルール
  1. 偶数の場合は半分にする
  2. 奇数の場合は3倍にして1を足す
  3. ①または②を繰り返す
一度計算してみます。
それでは「10」という数字で試してみましょう。
10(偶数) ⇒ 10 / 2 = 5
5(奇数) ⇒ (5 × 3) + 1 = 16
16(偶数) ⇒ 16 / 2 = 8
8(偶数) ⇒ 8 / 2 = 4
4(偶数) ⇒ 2 /2 = 2
2(偶数) ⇒ 2 / 2 = 1
1になりましたので、「10」という自然数に対してコラッツ予想は正しいということがわかります。
Excelの関数を使えばある程度まで正しいことを簡単に確かめることができますよ。

コラッツ予想の進捗

コラッツ予想を解決する方法は以下の2つです。

コラッツ予想を解決する方法
  1. コラッツ予想のルールに従って計算し続けると、全ての正の整数が1になることを証明する。
  2. コラッツ予想のルールに従って計算しても、1にならない数字を見つける。
どちらかと言うと②のほうが簡単そうですね。
しかし2021年現在、スーパーコンピュータで計算して576京4607兆5230億3423万までは1になることがわかっています。
さらに2019年にテレンス・タオという中国の数学者が「対数密度を用いて考えると、ほぼ全ての正の整数で1になる」という論文を発表しました。全てではなく、ほぼ全てなので、コラッツ予想の解決には至りませんでした。
やっぱりこの問題を解決するのは難しそうですね。

コラッツ予想についての考察

コラッツ予想の解き方について、こちらの記事で解説しています。
関連記事

数学の未解決問題の1つであるコラッツ予想。 問題の意味は小学生でも理解できるのに、専門家が証明できない問題です。 この問題はなぜ解けないのか?一体どこまで解けているのか?何が難しいのか? そんな疑問に答えるために、コラッツ[…]

スポンサーリンク

ゴールドバッハの予想

ゴールドバッハの予想は、1742年にプロシアの数学者であるゴールドバッハが、世界一美しい数式を発見したオイラーに出した手紙に書かれていた問題です。

関連記事

世界一美しい数式として有名なオイラーの公式。 おそらく数学者以外は、この数式の美しさを理解し難いと思います。 そこで今回は、数学の知識がない人にも、この数式の美しさが理解できるようにわかりやすく解説します。 こ[…]

ゴールドバッハの予想の内容

ゴールドバッハの予想は以下のような内容です。

ゴールドバッハの予想
全ての2よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる。
内容は非常にシンプルですね。
実際に考えてみましょう。
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13
20までの偶数は2つの素数の和として表すことができました。
数字が大きくなると2パターンで表せるものもあります。
このように「2よりも大きい全ての偶数は2つの素数の和として表すことができるのでは?」というのがゴールドバッハの予想です。

ゴールドバッハの進捗

ゴールドバッハ予想は2012年時点で400京までは正しいことがコンピュータによって証明されています。

この問題をここから完全に解決するために重要なポイントは以下の2点です。

素数は無限にあるのか?

2006年フィリップ・サイダックにより素数が無限にあることが証明されています。

数字が大きくなれば、素数の密度分布が低くなるのでは?

こちらはまだ完全に解明されていません。

しかし1,000,000,000,000,000,000(100京)~10,000,000,000,000,000,000(1,000京)の間に素数は209,317,712,988,603,000(約21京)あることがわかっています。

桁が大きすぎて訳が分からなくなりますね。
  • 数字が大きくなると、ある程度素数の分布密度が低くなるが、素数が無くなる訳ではない。
  • 数字が大きくなるほど、2つの数字で表す組み合わせの数は多くなる。

ということからゴールドバッハの予想は正しいであろうと言われています。

解決されるのが楽しみですね。
スポンサーリンク

エルデシュ=シュトラウス予想

1948年にポール・エルデシュとエルンスト・シュトラウスにより発表された予想です。

エルデシュ=シュトラウス予想の内容

エルデシュ=シュトラウス予想の内容は以下です。

エルデシュ=シュトラウス予想
\(n\)を2以上の任意の自然数とした場合
\(\displaystyle \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
を満たす自然数\(x,y,x\)が存在する
今回は数式ですね。
具体例をあげてみたいと思います。\(n=10\)で考えてみましょう。
\(n=10\)
\(x=10\)
\(y=10\)
\(z=5\)
を代入してみます。
\(\displaystyle \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
\(\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}\)
\(\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{10}+\frac{2}{10}\)
\(\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{1+1+2}{10}\)
\(\displaystyle \frac{4}{10}=\frac{4}{10}\)

\(n=10\)のときエルデシュ=シュトラウス予想を満たすことが自然数\(x,y,x\)が存在するわかりました。

このように「\(n\)が2以上のどんな値(自然数)でも、

\(\displaystyle \frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

を満たす自然数\(x,y,x\)が存在するはず。」というのがエルデシュ=シュトラウス予想です。

問題を理解することは簡単なので、プロからアマチュアまで色んな人が挑戦していますが、未だに未解決です。

自信のある方は挑戦してみてください。
スポンサーリンク

リーマン予想

1859年にドイツの数学者、ベルンハルト・リーマンが提唱したものです。

この問題が解けたら1億円の賞金がもらえます。

リーマン予想の内容

キーマン予想の内容はこちらです。

リーマン予想
以下に示すリーマンゼータ関数のすべての非自明な零点の実部は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)である。
\(\displaystyle \zeta (s)=\sum_{n=1}^∞ \frac{1}{n^s}\)
\(s\)は複素数
\(n\)は自然数
おそらく、これを見て理解できる人はほとんどいないと思います。
リーマン予想についてはこちらの記事でわかりやすく解説しています。
関連記事

数学の未解決問題の1つであるリーマン予想。 解決するのはとても難しいですが、内容を理解するだけであれば簡単です。 この記事では、文系の方にも理解してもらえるように、リーマン予想をどこよりもわかりやすく解説します。 また、リ[…]

番外編:フェルマーの最終定理

17世紀にフェルマーによって出された問題です。

こちらは1995年にワイルズによって正しいことが証明されました。

そのため、未解決問題ではありません。

フェルマーの最終定理の内容

フェルマーの最終定理
次の方程式は\(n≧3\)で自然数解を持たない。
\(x^n+y^n=z^n\)
簡単そうな問題なのですが、世界中の数学者が挑み、約300年かけて証明されました。
問題と異なり、証明の内容は非常に難解です。
興味がある方はこちらの記事で詳しく解説していますので、参照してください。
関連記事

問題は簡単なのに、証明に約350年以上かかった歴史的超難問フェルマーの最終定理。 その証明をわかりやすく解説します。 こんな人にオススメ 数学の歴史的超難問を解決した歴史に興味がある フェルマーの最終定理の証明に[…]

もっと数学を楽しみたい方へ!
こちらの記事がオススメです!

\夢中になれる本だけを紹介/
記事を読む

スポンサーリンク
>なぜ数学を学ぶのか?

なぜ数学を学ぶのか?

数学はとても面白いし役に立ちます。
それを少しでも多く伝えれば思っています。
このサイトでは筆者が「本当に面白い」と感じた内容だけを記載しています。