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円周率の求め方についてわかりやすく解説!

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無限に続く魅惑の数字、円周率。

無限に続くその値をどうやって求めるのか?

その方法についてわかりやすく解説します。

こんな人にオススメ
  • 円周率の求め方を知りたい
  • 円周率の魅力を知りたい
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円周率について

求め方の前に、円周率について簡単に解説します。

円周率とは?

円周率とは円の直径に対する円の比率のこと。
図で表すとこのようになります。
青色の長さが1のときの赤色の長さが円周率です。

円周率は不規則に無限に続く

この円周率は無限に続きます。

無限に続くことはイメージしやすいですが、不規則というのはどういう意味なのでしょう?

\(\displaystyle \frac{1}{7}\)という値について考えてみましょう。

\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.142857142857142857・・・\)
\(\displaystyle \frac{1}{7}\)も割り切れず、無限に続く数字です。
しかしよく見てみると規則性がありますね。
\(\displaystyle \frac{1}{7}=0.「142857」「142857」「142857」「14・・・\)

「142857」という数字が続いています。

円周率は2021年8月時点で62兆8000億桁まで計算されていますが、\(\displaystyle \frac{1}{7}\)であったような規則性が発見されていません。
これが円周率が不規則に無限に続く数字であるという意味です。
ただ完全に不規則であることは、まだ証明されていません。
不規則に無限に続くということは、円周率の中に様々な数字の羅列が含まれているということです。
一部を紹介してみます。
999999762桁目から
01234567890504億9446万5695桁目から
0000000000001兆7555億2412万9973桁目から
ある数字の羅列が円周率の何桁目にあるかはこちらのサイトで検索ができます。
自分の生年月日などを計算してみると面白いですよ。
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円周率の求め方(紀元前3世紀~)

まずは簡単な円周率の求め方です。

直径1の円について考えてみます。

この円に内接する正六角形の1辺の長さは0.5になります。
この円に外接する正六角形の1辺の長さは\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}\)となります。

直径1の円の外周の長さ(円周率π)は内接する正六角形の外周の長さより長く、外接する正六角形の外周の長さより短いため

\(3<π<2\sqrt{3}\)

であることがわかります。

今回は正六角形で考えましたが、これを正八角形、正十角形・・・と分割数を無限に増やしていけば、限りなく円に近づいていきます。

以下の計算式で正十角形から正1000角形まで計算してみました。

\(\displaystyleπ=\frac{内接するn角形の外周+外接するn角形の外周}{2}\)

3.141592・・・あたりに向かって収束していることがわかります。

しかしExcelで計算した計算した正1000角形の値は3.14159237467・・・で7桁目までしか合っていません。

このように計算の手間の割に答えの精度が低いため、今は使われていません。

紀元前3世紀から16世紀頃まではこの方法で計算されていました。

円周率の求め方(17世紀~)

17世紀になると、無限に足し算する式により、円周率\(π\)を表す方法が発見されました。

それがこの式です。

マーダヴァ・グレゴリー・ライプニッツ級数
\(\displaystyle\frac{π}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+・・・\)
なんと「奇数分の1」の足し算と引き算を交互に繰り返すと、円周率\(π\)の4分の1になります。
これは本当かどうか疑わしいですね。
これが本当であることは高校数学で証明することができます。

公比\(-x^2(0≤x<1)\)の無限等比級数を考えると、以下の式が表せられる。

\[1-x^2+x^4-x^6+・・・=\frac{1}{1+x^2}\]

両辺を積分する(\(x:0→1\))

\[ \displaystyle \int_0^{1} (1-x^2+x^4-x^6+・・・)dx=\int_0^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \]

左辺を計算する

\begin{align*}
(左辺)&=\int_0^{1} (1-x^2+x^4-x^6+・・・)dx\\
&=\left[x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+・・・\right]_0^1\\
&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}・・・
\end{align*}

次に右辺を計算する
\(x=\tanθ\)と置換する
\(x:0→1\)は\(\displaystyleθ:0→\frac{π}{4}\)となる

\begin{align*}
(右辺)&=\int_0^{1}\frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{1+\tan^2θ}・\frac{1}{\cos^2θ}dθ\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}\cos^2θ・\frac{1}{\cos^2θ}dθ\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}dθ\\
&=\left[θ\right]_0^\frac{π}{4}\\
&=\frac{π}{4}
\end{align*}

つまり以下が成り立つ

\[\displaystyle\frac{π}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+・・・\]

こちらもExcelで\(n=1000\)まで計算してみました。

振動しながら3.141592・・・に向かって収束しています。

しかし\(n=1000\)のときの値は3.14059265383979・・・で、3桁目までしか合っていません。

こちらも収束するのに時間がかかるため、今は使われていません。

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円周率の求め方(20世紀~)

20世紀になり、マーダヴァ・グレゴリー・ライプニッツ級数よりも収束がはやい公式が見つかりました。

それがこちらです。

ラヌマジャンの円周率公式
\[\displaystyle \frac{1}{π}=\frac{2\sqrt{2}}{99^2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n99^nn!)^4}\]
いきなり複雑怪奇な公式になりましたね。
本当にこの式で円周率が求められるか怪しいところですが、1987年に正しいことが証明されています。
しかし証明の内容は難しすぎて、筆者には理解できませんでした。
それではこの式もExcelで限界まで計算してみました。
なんと\(n=1\)のときにExcelで計算可能な限界に到達してしまいました。
\(n=1\)のときの値は3.14159265358979で計算できた15桁まで正しい値です。
圧倒的な収束速度です。
収束速度がはやいとコンピュータで計算する際のスピードも上がるため、どんどん円周率の奥の奥を開拓していくことができます。

なぜ円は360度なのか?

ここまで円周率の求め方を話してきましたが、なぜ円は360度なのかという疑問を持ったことはありませんか?

360という中途半端な数字ではなく、なぜ100や400などきりのいい数字にしないのか?

この疑問に対する回答を以下の記事に記載しています。

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