円周率の求め方についてわかりやすく解説！

公比\(-x^2(0≤x＜1)\)の無限等比級数を考えると、以下の式が表せられる。

\[1-x^2+x^4-x^6+･･･=\frac{1}{1+x^2}\]

両辺を積分する(\(x：0→1\))

\[ \displaystyle \int_0^{1} (1-x^2+x^4-x^6+･･･)dx=\int_0^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \]

左辺を計算する

\begin{align*}
(左辺)&=\int_0^{1} (1-x^2+x^4-x^6+･･･)dx\\
&=\left[x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+･･･\right]_0^1\\
&=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}･･･
\end{align*}

次に右辺を計算する
\(x=\tanθ\)と置換する
\(x:0→1\)は\(\displaystyleθ：0→\frac{π}{4}\)となる

\begin{align*}
(右辺)&=\int_0^{1}\frac{1}{1+x^2}dx\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{1+\tan^2θ}･\frac{1}{\cos^2θ}dθ\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}\cos^2θ･\frac{1}{\cos^2θ}dθ\\
&=\int_0^{\frac{π}{4}}dθ\\
&=\left[θ\right]_0^\frac{π}{4}\\
&=\frac{π}{4}
\end{align*}

つまり以下が成り立つ

\[\displaystyle\frac{π}{4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+･･･\]