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オイラーの公式はなぜ世界一美しい数式なのか?わかりやすく解説!

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世界一美しい数式として有名なオイラーの公式。

おそらく数学者以外は、この数式の美しさを理解し難いと思います。

そこで今回は、数学の知識がない人にも、この数式の美しさが理解できるようにわかりやすく解説します。

この記事を読み終えた頃には、きっとオイラーの公式の美しさに気づいて震えてしまいますよ。
こんな人にオススメ
  • 世界一美しい数式の美しさがわからない
  • 文系だけど数学が好き
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オイラーの公式

オイラーの公式はこちらです。

\(e^{iπ}+1=0\)

この数式は世界一美しい数式として有名で、映画化もされた小説「博士の愛した数式」でも登場しました。

他にもいろんな作品に登場していますよ。

この公式の美しさを理解するためには

  • 円周率
  • ネイピア数
  • 虚数単位
  • 指数

を知ることが必要です。

順番に解説していきます。

円周率

まずは円周率からです。

これは知っている人が多そうですね。

円周率\(π\)とは、円の直径に対する円周の比率のことです。

直径\(l\)の円の円周の長さを\(L\)とすると

\(L=π×l\)

となります。

 

値は

\(π=3.14159265359 \cdots \)

と続いていきます。

2021年現在、約2000億桁まで計算されていますが、未だに割り切れていません。

円周率に関してはこちらの記事で詳しく解説しています。

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円周率の歴史

円周率は今から約4000年前の紀元前2000年頃には使われていたとされています。

中国と同じくらいの歴史ですね。

ネイピア数

続きましてネイピア数です。

ネイピア数\(e\)は自然数の逆数を無限に足し合わせたもので、以下の計算で求めることができます。

\(\displaystyle e= \lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{1}+ \frac{1}{n})^n \)

計算すると値は

\(e=2.71828182845904523536 \cdots \)

であり、こちらも円周率πと同様に数字が続いていきます。

 

\(e^x\)は何度微分しても\(e^x\)であるなど、様々な特性を持っています。

馴染みはないと思いますが、数学界では重要な値です。

微分や積分をすると有難みがわかります。

ネイピア数を使って最高の相手と結婚する確率を上げることができます。

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ネイピア数の歴史

ネイピア数は1618年、ジョン・ネイピアによって初めて近似値が発見されました。

虚数単位

3つ目は虚数単位iです。

虚数単位\(i\)とは2乗すると-1になる値のことです。

\(i^2=-1\)

 

2乗は同じ数字を2回かけることです。

  • プラス × プラス = プラス
  • マイナス × マイナス = プラス
  • 0 × 0 = 0

であることは皆さんご存じだと思います。

私たちが知っている、数字はプラスの数字かマイナスの数字か0のいづれかに分類することができます。

しかし、これらのどれを2乗しても-1にはなりません。

つまり、単位虚数iは私たちの認識できないところにある値ということになります。

ちなみにこの虚数を使うとマイナス×マイナスがプラスであることをエレガントに証明することができます。

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虚数の歴史

虚数は17世紀頃にルネ・デカルトが使い始めたと言われています。

指数

指数とは\(x^n\)の\(n\)のことです。

\(2^3=2×2×2=8\)
であることはご存じだと思います。
では\(2^{0.5}\)や\(2^{-1}\)はいくつになるのでしょう?
こんなの計算できないと思いますか?
これらも計算することができます。
\(2^{0.5}=\sqrt{2}\)
\(2^{-1}=0.5\)
\(x=2^n\)のグラフはこのようになります。
ここで理解してもらいたいのは、マイナスの値や整数でなくても指数の計算ができるということです。
指数は\(0^0\)について考えてみても面白いですよ。
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世界一美しい数式

1748年、オイラーは発見しました。

 

17世紀に入り定義された存在しない数字\(i\)と、紀元前2000年に発見された、割り切れない数字\(π\)を掛け合わせる。

\(πi\)

 

そして1618年に発見された、割り切れない数字\(e\)を\(πi\)乗する。

\(e^{πi}\)

 

数値を代入するとこのようになります。

\(e^{πi}=(2.71・・・)^{(3.14・・・)×\sqrt-1}\)

とても計算できそうにありませんね。

 

しかし、この数式にそっと1を足せば何事もなかったかのように0になってしまう。

\(e^{iπ}+1=0\)

 

まるで複雑にからまった紐を指一本でほどく魔法のような数式。

それがオイラーの公式です。

美しすぎて鼻血がでそうです。

まとめ

今回は数学をあまりよく知らない人にむけてざっくりと説明しました。

もしオイラーの公式の虜になってしまったという方がいれば、以下の書籍がおすすめです。

文系の方が、自身も数学を勉強しながら、数学をあまりよく知らない人にも理解してもらえるようにと、書いた1冊です。

これを読めば自分でオイラーの公式を証明することができますよ。

さらにオイラーの公式と同じくらい天才オイラーの人生も美しいんです。

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