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マイナス×マイナスはなぜプラスになるの?複素数を用いて解説!

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「-2×-3は?」と聞かれると多くの方は「6」と答えることができると思います。

ただ「何故マイナスにマイナスをかけるとプラスになるのか?」ということに対して、疑問をもつ方は多いのではないでしょうか。

この記事では複素数を用いて、納得してもらえるように解説します。

この記事はこんな人にオススメ
  • マイナスにマイナスをかけると、プラスになることが納得できない!
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複素数とは?

今回は複素数を用いて解説します。

実数を\(a\)、純虚数を\(bi\)とした場合、\(z=a+bi\)で表される\(z\)のこと。
純虚数という、あまり聞きなれない言葉もでてきました。
実数に虚数単位(\(i\))をかけたもの。
今度は虚数単位という聞きなれない言葉がでてきましたね。
虚数単位(\(i\))とは、2乗すると-1になる数のこと。
\(i^2=-1\)
これは高校の数学で習う内容なので少し難しいかもしれませんね。

複素数平面を考える

それでは以下の値について考えてみましょう。

\( z= \cos θ +i \sin θ \)
上記の式を複素数平面でグラフ化すると以下のような単位円になります。
では\(z=1\)のときはどうなるのでしょう。
複素数平面で考えると、1を基準とした-1の偏角(\(θ\))は180°になります。
カンのいい人はもう気づいてしまったでしょうか。
-1をかけるということは、複素数平面上では180°回転させることと同じ意味になります。
2回180°回転させると、同じ位置に戻ってきます。つまり、-1×-1=1(マイナス×マイナス=プラス)となります。

計算してみる

-1×-1=1であることを計算で証明してみましょう。

\( z= \cos θ +i \sin θ \)の両辺を2乗します。
\( z^2= (\cos θ +i \sin θ)^2 \)
\( z^2= \cos^2 θ +2i \sin θ \cos θ +(-\sin^2 θ)\)
\( z^2= \cos^2 θ -\sin^2 θ+i(2 \sin θ \cos θ)\)
\( z^2= \cos 2θ + i \sin 2θ \)

三角関数の倍角の公式を用いて計算しました。

\( z^2= \cos 2θ + i \sin 2θ \)に
\(z=-1\)
\(θ=180°\)
を代入します。

\( (-1)^2= \cos (180°×2) + i \sin (180°×2) \)
\( (-1)×(-1)= \cos 360° + i \sin 360°\)
\( (-1)×(-1)= \cos 0° + i \sin 0°\)
\( (-1)×(-1)= 1 + i×0\)
\( (-1)×(-1)= 1 \)

証明完了です。

まとめ

マイナス×マイナスがプラスである理由を説明するのに、分配法則を用いて説明する方が多いと思いまが、高校生以上向けに複素数で説明してみました。

マイナス×マイナスがプラスであるということは中学1年生で習いますが、なかなか理解するのは難しいと思います。しかし高校まで数学を勉強して複素数を学ぶと、中学1年生で習った内容をきちんと理解ができるんです。

筆者は、こういったところが数学を学んでいて楽しいところだと思います。

この記事を読んでスッキリした!と思っていただける方が多いとうれしいです。

筆者はこの解説が最も腑に落ちました。

 

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