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0の0乗はいくつなのか?わかりやすく解説!

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2の0乗や3の0乗は1です。

0の1乗や0の2乗は0になります。

では0の0乗は?1になるのか?それとも0になるのか?

この謎についてわかりやすく解説します。

こんな人にオススメ
  • 0の0乗の答えを知りたい!
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指数の計算

\(0^0\)の答えの前に、指数計算の復習をしたいと思います。

指数とは\(a^n\)の\(n\)のことです。そして\(a\)のことを底(てい)といいます。

\(a=2\)、\(n=3\)とすると以下のように計算ができます。

\(2^3=2×2×2=8\)

2\(^0\)の計算

では\(2^0\)はどうなるのでしょうか?
指数を3から1ずつ減らしていくと以下のようになります。
計算計算結果
\(2^3\)\(2×2×2\)\(8\)
\(2^2\)\(2×2\)\(4\)
\(2^1\)\(2\)\(2\)
\(2^0\)??

底が2の場合、指数を\(1\)減らすと\(×2\)が1つ減る。つまり、\(2\)で割られることになります。

この性質を利用して\(2^0\)を計算することができます。

\(\displaystyle 2^0=\frac{2^1}{2}=\frac{2}{2}=1\)

0\(^2\)の計算

次に\(0^2\)はどうなるのでしょう。

\(0^2=0×0=0\)

これは簡単ですね。

 

0\(^0\)の計算

いよいよ本題です。

\(0^0\)はいくつになるのでしょうか?

\(2^0=1\)と同様と考えると、答えは1であるような気がします。

しかし\(0^2=0\)なので、0をいくらかけても0なので答えが0であるような気もします。

 

実はどちらも正解なんです。

 

\(0^0\)の答えは考え方により変わり、答えが複数あります。

実際にGoogleで0の0乗と検索すると1という答えがでてきます。

Excelで\(0^0\)を計算してみるとエラーになり計算できません。

GoogleとMicrosoftでも意見が割れているようですね。
\(0^0\)の答えは3つあります。それぞれについて解説していきます。

 

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\(0^0=1\)

まずは\(0^0=1\)という考え方です。

これは\(y=x^x\)のグラフを見てみるとわかりやすいです。

\(x\)(横軸)が0のとき\(y\)(縦軸)は1になっていますね。

つまり\(0^0=1\)ということが言えます。

\(0^0=0\)

次に\(0^0=0\)という考え方です。

これは\(\displaystyle e^{-\frac{1}{x^2}}\)という値を使います。

\(\displaystyle e^{-\frac{1}{x^2}}\)は\(x\)を0に近づけていくと0になるという性質を持っています。

つまり\(\displaystyle y=(e^{-\frac{1}{x^2}})^x\)に\(x=0\)を代入すると\(y=0^0\)となります。

では\(\displaystyle y=(e^{-\frac{1}{x^2}})^x\)のグラフを見てみましょう。
\(x\)(横軸)が0のとき\(y\)(縦軸)も0になっています。
つまり\(0^0=0\)となりました。
先ほどと異なる答えになってしまいました。

\(0^0\)=計算できない

最後は計算できないという考え方です。

指数法則を使います。

\(a^{n+1}=a^n×a^1\)
\(2^5=2^3×2^2\)が成り立つという法則です。
この指数法則を用いて\(0^0\)を計算してみましょう。
\(0^1=0^{1+0}\)
\(0^1=0^1×0^0\)
\(\displaystyle 0^0=\frac{0^1}{0^1}\)
\(\displaystyle 0^0=\frac{0}{0}\)

0で割ることはできないので「\(0^0=\)計算できない」という結果になります。

まとめ

\(0^0\)は、一見簡単そうなのですが、実は答えが複数あります。

それは答えを導き出すためのアプローチによって、答えが変わるためです。

学生の方は先生に\(0^0\)の答えを聞いてみると面白いかもしれませんね。

実は数学の世界では簡単そうなのに、解けていない問題がまだまだあるんです。

興味がある方はこちらの記事を参照してください。

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