小学生のときに「0で割ることはできません。」と習ったと思います。
それを不思議に思った人も多いのではないでしょうか？
この記事では「0で割る」ことができな理由をわかりやすく解説します。
実は「0で割る」ことを可能にしてしまうと数学の根底が覆されてしまうほど、大変なことが起きてしまうのです。
こんな人にオススメ
- 「0で割る」の答えが知りたい。
- 「0で割る」ことができない理由を知りたい。
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Contents
「0で割る」の答えは？
まずは「0で割る」の答えが本当に無いのか確認してみましょう。
まずは簡単なところから。
\(1÷1=1\)
この計算については理解してもらえると思います。
ではここから割る数をどんどん小さくして0に近づけていきたいと思います。
\(1÷0.1=10\)
\(1÷0.01=100\)
\(1÷0.001=1000\)
\(\vdots\)
\(1÷0.00000001=100000000\)
\(1÷0.01=100\)
\(1÷0.001=1000\)
\(\vdots\)
\(1÷0.00000001=100000000\)
割る数をどんどん小さくする(0に近づける)と答えはどんどん大きくなっています。
では0で割るの答えは∞(無限大)なのでしょうか？
それがそんなに甘くないんです。
次はこの計算について考えてみましょう。
\(-1÷1=-1\)
同じように割る数をどんどん小さくして0に近づけていきたいと思います。
\(-1÷0.1=-10\)
\(-1÷0.01=-100\)
\(-1÷0.001=-1000\)
\(\vdots\)
\(-1÷0.00000001=-100000000\)
\(-1÷0.01=-100\)
\(-1÷0.001=-1000\)
\(\vdots\)
\(-1÷0.00000001=-100000000\)
今度は割る数をどんどん小さくする(0に近づける)と答えはどんどん小さくなっています。
さっきと反対ですね。
これは\(\displaystyle y=\frac{1}{x}\)のグラフを見てもらうとよくわかります。
プラス側から0に近づいた場合はどんどん大きく(＋∞)になっています。
マイナス側から0に近づいた場合はどんどん小さく(-∞)になっています。
それであれば、「0で割る」の答えを
- プラスの値を割ると∞
- マイナスの値を割ると－∞
とすれば、いいような気がしますよね。
しかし、数学のルール上では「0で割ることができない」とされています。
事実、電卓で「1÷0」と入力するとこのように表示されます。
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「0で割る」ことができない理由
「0で割る」の答えはなんとか作れそうな気がするのに、なぜ「0で割ることはできない」とするのでしょうか？
それは「0で割る」の答えを作ってしまうと数学の根底が覆されてしまうからです。
「0で割る」ことが可能になるとすごいことができてしまうんです。
仮に
\(\displaystyle \frac{1}{0}=α\)\(\dots\)①
としましょう。
①式の逆数を考えると
\(\displaystyle \frac{1}{α}=\frac{0}{1}=0\)\(\dots\)②
であることがわかります。
また、逆数を掛けた場合の答えは必ず1になるので
\(\displaystyle α×\frac{1}{α}=1\)\(\dots\)③
となります。
では次の式について考えてみます。
\(0=0＋0\)
この式に②式と③式を使って変形してみます。
\(0=0＋0\)
\(\displaystyle \frac{1}{α}=\frac{1}{α}＋\frac{1}{α}\)(②式を代入)
\(\displaystyleα×\frac{1}{α}=α×\frac{1}{α}＋α×\frac{1}{α}\)(両辺に\(α\)を掛けた)
\(\displaystyle 1=1＋1\)(③式を代入)
\(\displaystyle 1=2\)
なんと1=2になってしまいました。
0=0＋0＋0＋0を同じように変形すると1=4になります。
つまり、「0で割る」ことに答えを与えてしまうと
\(1×1=4×4=16\)
なども成り立ち、数字が数字の意味を失ってしまうんです。
数字がめちゃくちゃになると数学も成り立たなくなってしまいます。
これが、数学のルール上で「0で割ることができない」とされている理由です。
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